Funzione di Dirichlet
La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.
Definizione
La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:
È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali . Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:
Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come .
Continuità e integrabilità
La funzione di Dirichlet è una funzione che non è continua in nessun punto del dominioː poiché sia sia l'insieme dei numeri irrazionali sono densi in , ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie), e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.
La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla poiché l'insieme dei numeri razionali è numerabile, mentre gli irrazionali non lo sono) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione sull'intervallo vale .
Altre proprietà
Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.
La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:
La funzione presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni irrazionale.
Funzione di Dirichlet modificata
Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:
Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo , la funzione supera solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di : preso infatti un numero irrazionale e fissato un valore positivo , esiste sempre un intorno di in cui ; segue quindi che:
Bibliografia
- John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research.
- Una discussione sull'integrabilità della funzione di Dirichlet, su vialattea.net.