Formula di Eulero-Maclaurin

Nel calcolo infinitesimale la formula di Eulero-Maclaurin fornisce un collegamento di grande utilità tra il calcolo degli integrali (vedi calcolo infinitesimale) e il calcolo di somme e serie. Essa si può usare per approssimare integrali mediante somme finite e viceversa per valutare somme finite e somme di serie a partire da valori di integrali definiti ottenuti analiticamente o mediante approssimazioni ottenute usando il computer. In particolare da questa formula si deducono molti sviluppi asintotici e la formula di Falhauber per la somma di potenze di interi è una sua immediata conseguenza.

La formula è stata scoperta indipendentemente da Leonhard Euler e Colin Maclaurin attorno al 1735. Eulero l'ha trovata mentre cercava di calcolare serie infinite lentamente convergenti, mentre Maclaurin l'ha utilizzata per calcolare degli integrali specifici. Questa formula è stata generalizzata nel 1886 da Gaston Darboux e questa generalizzazione è nota come formula di Darboux.

Se ${\displaystyle n}$ è un intero positivo e ${\displaystyle f(x)}$ è una funzione liscia (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali ${\displaystyle x}$ tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle n}$, allora l'integrale

${\displaystyle I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx}$

può essere approssimato con la somma

${\displaystyle S=f(0)/2+f(1)+\cdots +f(n-1)+f(n)/2}$

(regola del trapezio). La formula di Eulero-Maclaurin fornisce espressioni per la differenza tra la somma e l'integrale in termini di derivate di ordine elevato ${\displaystyle f^{(k)}}$ nei punti finali dell'intervallo ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle n}$. Per ogni numero naturale ${\displaystyle p}$, si ha

${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R,}$

dove ${\displaystyle B_{2}=1/6,B_{4}=-1/30,B_{6}=1/42,B_{8}=-1/30,\ldots }$ sono i numeri di Bernoulli e ${\displaystyle R}$ è un termine di errore che è normalmente piccolo se ${\displaystyle p}$ è abbastanza grande e può essere stimato come

${\displaystyle \left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}dx\,\left|f^{(2p+1)}(x)\right|.}$

Impiegando la regola di sostituzione, si può adattare questa formula anche a funzioni che sono definite su qualche intervallo della retta reale diverso da ${\displaystyle [0,n]}$.

Se ${\displaystyle f}$ è un polinomio e ${\displaystyle p}$ è un intero abbastanza grande, allora il termine residuo vale zero. Per esempio, se ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, può essere scelto ${\displaystyle p=2}$ per ottenere dopo la semplificazione

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Con la funzione ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$, la formula di Eulero-Maclaurin può essere usata per derivare con precisione l'errore stimato per l'approssimazione di Stirling della funzione fattoriale.

• M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 806

• Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula, su numbers.computation.free.fr.

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