Equazione logaritmica

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare come argomento o come base di un logaritmo^[1], come ad esempio ${\displaystyle log_{2}(x+3)=7\;}$. È un'equazione trascendente, in quanto non riconducibile a somme o prodotti di polinomi. Non è un'equazione logaritmica una equazione del tipo ${\displaystyle x^{3}+4x+log_{3}7=0\;}$, perché l'incognita non compare né come argomento, né come base del logaritmo.

Per la risoluzione di un'equazione logaritmica ci si affida di solito alla definizione di logaritmo: il logaritmo in base ${\displaystyle a}$ di argomento ${\displaystyle b}$ (e si scrive ${\displaystyle log_{a}b\;}$) è l'esponente da assegnare alla base per ottenere l'argomento: se ${\displaystyle log_{a}b=x\to a^{x}=b}$.^[2]

Pertanto, se si ha un'equazione logaritmica da risolvere, prima si cerca di portarla nella forma più ridotta possibile, con a sinistra del segno di uguale il logaritmo e a destra il termine noto; poi, se l'incognita è nell'argomento del logaritmo, si dà a ${\displaystyle x}$ il valore dell'esponente che occorre assegnare alla base per ottenere il termine noto. Dopo aver risolto l'equazione è necessario verificare se le soluzioni trovate soddisfino o meno le condizioni di esistenza dell'equazione data. Infatti:

• l'argomento di un logaritmo deve essere sempre strettamente positivo
• la base di un logaritmo deve sempre essere strettamente positiva e diversa da ${\displaystyle 1}$.^[3]

Esempio 1: ${\displaystyle log_{2}(x+5)=3\;}$.

${\displaystyle 3}$ è l'esponente da dare a ${\displaystyle 2}$ per ottenere ${\displaystyle x+5}$, quindi ${\displaystyle x+5=2^{3}\to x+5=8\to x=3\;}$. Tale soluzione è accettabile poiché il campo di esistenza dell'equazione impone la stretta positività dell'argomento: ${\displaystyle x+5>0\to x>-5}$, pertanto la soluzione ${\displaystyle x=3}$ rientra nell'intervallo desiderato.

Esempio 2: ${\displaystyle log_{x}32=5}$.

${\displaystyle 5}$ è l'esponente da dare a ${\displaystyle x}$ per ottenere ${\displaystyle 32}$, da cui ${\displaystyle x^{5}=32\to x^{5}=2^{5}\to x=2}$. Tale soluzione è compatibile con la condizione di esistenza della base, ${\displaystyle x>0,\;x\neq 1}$.

• Marina Scovenna, Appunti di geometria analitica e complementi di algebra - Ambito professionale, CEDAM, 2002, ISBN 88-13-23856-8.
• Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.

• Logaritmo
• Equazione
• Equazione esponenziale

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