Equazione di Lane-Emden

In astrofisica, l'equazione di Lane-Emden è una forma adimensionale dell'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale di un fluido politropico, autogravitante, a simmetria sferica. Prende il nome dagli astrofisici Jonathan Homer Lane e Robert Emden.^[1] L'equazione è

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}$

dove ${\displaystyle \xi }$ è un raggio adimensionale e ${\displaystyle \theta }$ si riferisce alla densità, e quindi alla pressione, tramite ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ per la densità centrale ${\displaystyle \rho _{c}}$. L'indice ${\displaystyle n}$ è l'indice politropico che appare nell'equazione di stato politropica,

${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$

dove ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle \rho }$ sono rispettivamente la pressione e la densità, e ${\displaystyle K}$ è una costante di proporzionalità. Le condizioni al contorno standard sono ${\displaystyle \theta (0)=1}$ e ${\displaystyle \theta '(0)=0}$. Le soluzioni quindi descrivono l'andamento della pressione e della densità con il raggio e sono conosciute come politropiche di indice ${\displaystyle n}$. Se si considera un fluido isotermico (con indice politropico tendente a infinito) invece di uno politropico, si ottiene l'equazione di Emden-Chandrasekhar.

Fisicamente, l'equilibrio idrostatico collega il gradiente del potenziale, la densità e il gradiente della pressione, mentre l'equazione di Poisson collega il potenziale con la densità. Pertanto, se abbiamo un'equazione ulteriore che detta come la pressione e la densità variano l'una rispetto all'altra, si può ottenere una soluzione. La scelta di un gas politropico porta all'equazione di Lane–Emden. L'equazione è un'utile approssimazione per le sfere di plasma autogravitanti come le stelle, ma tipicamente è un'assunzione piuttosto limitata.

Si consideri un fluido autogravitante a simmetria sferica in equilibrio idrostatico. La massa si conserva e quindi vale l'equazione di continuità

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

dove ${\displaystyle \rho }$ è una funzione di ${\displaystyle r}$. L'equazione dell'equilibrio idrostatico è

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$

dove anche ${\displaystyle m}$ è una funzione di ${\displaystyle r}$. Fare di nuovo la derivata produce

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$

dove l'equazione di continuità è stata usata per sostituire il gradiente di massa. Moltiplicando ambo i membri di ${\displaystyle r^{2}}$ e raccogliendo le derivate di ${\displaystyle P}$ a sinistra, si può scrivere

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$

Dividere ambo i membri per ${\displaystyle r^{2}}$ dà, in un certo senso, una forma dimensionale dell'equazione desiderata. Se, inoltre, si sostituisse per l'equazione politropica di stato con ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ e ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$, si ha

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$

Raccogliendo i costanti e sostituendo ${\displaystyle r=\alpha \xi }$, dove

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}$

abbiamo l'equazione di Lane-Emden,

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

Si può cominciare in maniera equivalente con l'equazione di Poisson,

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }$

Si può sostituire il gradiente del potenziale usando l'equilibrio idrostatico, per mezzo di:

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$

che analogamente porta alla forma dimensionale dell'equazione di Lane–Emden.

Per un certo valore dell'indice politropico ${\displaystyle n}$, indichiamo la soluzione all'equazione di Lane-Emden come ${\displaystyle \theta _{n}(\xi )}$. In generale, l'equazione di Lane–Emden deve essere risolta numericamente per trovare ${\displaystyle \theta _{n}}$, ma esistono soluzioni esatte e analitiche per ${\displaystyle n=0,1,5}$. Tuttavia, per ${\displaystyle n}$ tra 0 e 5, le soluzioni sono continue e finite, e il raggio della stella è dato da

${\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}$,

dove ${\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}$.

Per una certa soluzione ${\displaystyle \theta _{n}}$, il profilo della densità è dato da

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}}$.

La massa totale ${\displaystyle M}$ di una determinata stella si ottiene integrando la densità da 0 a ${\displaystyle \xi _{1}}$.

La pressione può essere trovata usando l'equazione di stato politropica, ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}$, ovvero

${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}$

Infine, se il gas è perfetto, l'equazione di stato è ${\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }$, dove ${\displaystyle k_{B}}$ è la costante di Boltzmann e ${\displaystyle \mu }$ la massa molecolare media. Il profilo di temperatura è quindi dato da

${\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}$

Come sopra indicato, l'equazione di Lane–Emden è integrabile solo per tre valori dell'indice politropico ${\displaystyle n}$.

Se ${\displaystyle n=0}$, l'equazione diventa

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}$

Riordinando e integrando si arriva a

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$

Dividere ambo i membri per ${\displaystyle \xi ^{2}}$ e integrare di nuovo fornisce

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

Le condizioni al contorno ${\displaystyle \theta (0)=1}$ e ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ implicano che le costanti di integrazione sono ${\displaystyle C_{0}=1}$ e ${\displaystyle C_{1}=0}$. Pertanto,

${\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

Quando ${\displaystyle n=1}$, l'equazione può essere sviluppata nella forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$

Si assume che la soluzione sia una serie di potenze:

${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}$

Ciò porta a una relazione ricorsiva per i coefficienti dello sviluppo:

${\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}$

Questa relazione può essere risolta, ottenendo la soluzione generale:

${\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}$

La condizione al contorno per una politropica fisica richiede che ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}$ per ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$. Questo richiede che ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}$, arrivando così alla soluzione:

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$

Si inizia dall'equazione di Lane–Emden:

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}$

Riscrivendo per ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}$ si ottiene:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}$

Derivando rispetto a ξ porta a:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$

Che semplificato diventa:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$

Pertanto l'equazione di Lane–Emden ha la soluzione

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$

quando ${\displaystyle n=5}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Lane-Emden, su MathWorld, Wolfram Research.