Disuguaglianza di Schur

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In matematica la disuguaglianza di Schur stabilisce che per tutti i numeri ${\displaystyle x,y,z\geq 0}$ e per un numero positivo t:

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}$

con uguaglianza solo se x = y = z o se due di loro sono uguali e l'altro è zero. Quando t è un intero pari e positivo la disuguaglianza è valida per tutti i reali x, y e z.

Un generalizzazione di questa disuguaglianza è la seguente:

Siano dati tre reali positivi a, b, c. Se la tripla (a, b, c) e (x, y, z) sono ordinate con la stessa monotonia, allora vale la seguente disuguaglianza:

${\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0}$

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