Distribuzione di Kumaraswamy

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In teoria della probabilità la distribuzione di Kumaraswamy è una distribuzione di probabilità continua, definita sull'intervallo [0,1] e dipendente da due parametri. È simile alla variabile casuale beta, ma è più semplice da usare grazie alle semplici espressioni chiuse della funzione di densità di probabilità e della frequenza cumulata. Porta il nome di Poondi Kumaraswamy che la descrisse per primo.^[1]

La funzione di densità di probabilità è definita da

${\displaystyle f(x|a;b)=abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}}$, dove a e b sono i due parametri e ${\displaystyle x\in [0,1]}$

si ottiene così che la cumulata è

${\displaystyle F(x|a;b)=[1-(1-x^{a})^{b}]}$

e il valore atteso diventa

${\displaystyle \mu ={\frac {b\Gamma (1+1/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+1/a+b)}}}$

mentre la mediana è

${\displaystyle \left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{1/b}\right)^{1/a}}$

e la moda

${\displaystyle \left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}.}$

I momenti di ordine n sono calcolabili con

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b).}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ e ${\displaystyle B}$ sono rispettivamente la funzione gamma e la funzione beta di Eulero.

• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$ allora ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (distribuzione continua uniforme) allora ${\displaystyle {\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$ (variabile casuale beta) allora ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$ (variabile casuale beta) allora ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ allora ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$ allora ${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$ allora ${\displaystyle -ln(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$ allora ${\displaystyle -ln(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,}$
• Se ${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$ allora ${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$, la distribuzione beta generalizzata di primo ordine.

In R tramite il pacchetto extraDistr sono disponibili le seguenti funzioni^[2]

dkumar(x, a = 1, b = 1, log = FALSE)
pkumar(q, a = 1, b = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qkumar(p, a = 1, b = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rkumar(n, a = 1, b = 1)

rispettivamente funzione di densità, di probabilità, dei quantili e generatore di numeri casuali.

• Kumaraswamy, P., A generalized probability density function for double-bounded random processes, in Journal of Hydrology, vol. 46, n. 1-2, 1980, pp. 79–88, DOI:10.1016/0022-1694(80)90036-0.
• Fletcher, S.G. e Ponnambalam, K., Estimation of reservoir yield and storage distribution using moments analysis, in Journal of Hydrology, vol. 182, n. 1-4, 1996, pp. 259–275, DOI:10.1016/0022-1694(95)02946-X.
• Jones, M.C., Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages, in Statistical Methodology, vol. 6, n. 1, 2009, pp. 70–81, DOI:10.1016/j.stamet.2008.04.001.
• Lemonte, A.J., Improved point estimation for the Kumaraswamy distribution, in Journal of Statistical Computation and Simulation, vol. 81, n. 12, 2011, pp. 1971–1982, DOI:10.1080/00949655.2010.511621.

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