Dipendenza funzionale

Una dipendenza funzionale è una proprietà emergente delle relazioni in una base di dati relazionale, descrivibile come un legame sistematico tra le istanze degli attributi compresi in una relazione.

Data una relazione ${\displaystyle r}$ su uno schema relazionale ${\displaystyle R(X)}$ e due sottoinsiemi di attributi non vuoti ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ di ${\displaystyle X}$, si dice che esiste su ${\displaystyle r}$ una dipendenza funzionale tra ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ se per ogni coppia di tuple ${\displaystyle t_{1}}$ e ${\displaystyle t_{2}}$ di ${\displaystyle r}$ aventi gli stessi valori sugli attributi ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle t_{1}}$ e ${\displaystyle t_{2}}$ hanno gli stessi valori anche sugli attributi ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle \forall t_{1},t_{2}\in r,t_{1}[Y]=t_{2}[Y]\rightarrow t_{1}[Z]=t_{2}[Z]}$

Verrà denotato con ${\displaystyle \langle R(X),F\rangle }$ uno schema R(X) in cui è definito un insieme F delle dipendenze funzionali. Un'istanza r di R(X) è detta istanza legale di ${\displaystyle \langle R(X),F\rangle }$ quando essa soddisfa tutte le dipendenze funzionali di F.

Un'implicazione logica si ha quando, partendo da uno schema ${\displaystyle \langle R(X),F\rangle }$ e una dipendenza funzionale ${\displaystyle Y\rightarrow Z}$, ogni istanza legale r di ${\displaystyle \langle R(X),F\rangle }$ soddisfa anche ${\displaystyle Y\rightarrow Z}$, si dirà così che F implica logicamente ${\displaystyle Y\rightarrow Z}$, indicata come ${\displaystyle F\vDash Y\rightarrow Z}$.

Prendiamo come esempio uno studente universitario identificato con un ID, il quale sostiene degli esami e per ognuno di essi ottiene un voto, la dipendenza funzionale risulta essere:

${\displaystyle {\{}ID,ESAME{}\}\rightarrow VOTO}$

La chiusura è essenzialmente l'intero set di valori che possono essere determinati da un insieme di valori noti per un determinato rapporto con le sue dipendenze funzionali. Formalmente:

Dato un insieme F di dipendenze funzionali, di uno schema ${\displaystyle \langle R(X),F\rangle }$, la sua chiusura F⁺ è l'insieme delle dipendenze funzionali che sono implicate logicamente da F:

${\displaystyle F^{+}={\{}Y\rightarrow Z|F\vDash Y\rightarrow Z{}\}}$

R(A,B,C,D):

1. ${\displaystyle A\rightarrow B}$
2. ${\displaystyle B\rightarrow C}$
3. ${\displaystyle AB\rightarrow D}$

Se prendiamo una chiave K di una relazione r si può facilmente verificare che esiste una dipendenza funzionale tra K e un qualunque altro attributo o insieme di attributi dello schema di r, cioè in uno schema ${\displaystyle \langle R(X),F\rangle }$ e ${\displaystyle K\subseteq X}$, allora K è detta chiave dello schema se:

${\displaystyle K\rightarrow X}$ è in F⁺ e ${\displaystyle \not \exists Y\subset K}$ tale che ${\displaystyle Y\rightarrow X}$ è in F⁺

Per definizione stessa di vincolo di chiave, non possono esistere due tuple con gli stessi valori su K e quindi una dipendenza funzionale che ha K al primo membro sarà sempre soddisfatta. Si fa presente che non è detto però che, dato un attributo di una relazione, questo dipenda completamente da tutta la chiave primaria della relazione stessa: è possibile che un attributo (non appartenente all'insieme degli attributi chiave primaria) dipenda in modo completo anche solo da un sottoinsieme della chiave primaria.

Chiameremo superchiave ogni soprainsieme di una chiave.

• Paolo Atzeni, Stefano Ceri, Piero Fraternali, Stefano Paraboschi e Riccardo Torlone, Basi di dati, 5ª ed., Milano, McGraw-Hill, 2018, ISBN 978-88-386-9445-5.
• Beneventano D., Bergamaschi S., Guerra F. e Vincini M., Progetto di basi di dati relazionali, Bologna, Pitagora Editrice, 2007, ISBN 88-371-1680-2.

• Assiomi di Armstrong

• (EN) Denis Howe, functional dependency, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL
• (PDF) Dipendenza funzionale

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