Densità di Schnirelmann

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In matematica, la densità di Schnirelmann di una successione di numeri interi è una misura della sua "densità". Tramite questa nozione è possibile affermare ad esempio che "vi sono più numeri dispari che quadrati", benché entrambi gli insiemi siano di cardinalità infinita. Il primo matematico a teorizzare tale densità fu Lev Genrikhovich Schnirelmann da cui appunto deriva il nome.

Sia ${\displaystyle A}$ un insieme di interi e sia ${\displaystyle A(x)}$ la funzione enumeratrice di ${\displaystyle A}$, definita come:

${\displaystyle A(x)=\sum _{a\leq x;a\in A}^{}1}$

La densità di Schnirelmann di ${\displaystyle A}$ è quindi definita come

${\displaystyle \sigma (A)=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}}}$

La densità di Schnirelmann è un numero reale compreso tra zero e uno, che gode della seguente proprietà

${\displaystyle {\text{Se }}k\notin A{\text{ allora }}\sigma A\leq 1-1/k.}$

In particolare, se ${\displaystyle 1\notin A}$, allora ${\displaystyle \sigma (A)=0}$.

Se ${\displaystyle C}$ è l'insieme somma di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, definito come

${\displaystyle C=\lbrace a+b:a\in A\cup \{0\},b\in B\cup \{0\}\rbrace }$

allora il teorema di Schnirelmann afferma che

${\displaystyle \sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B)-\sigma (A)\sigma (B).}$

Questo teorema è stato migliorato da Henry B. Mann che ha dimostrato che, se ${\displaystyle C\neq \mathbb {N} }$, si ha

${\displaystyle \sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B).}$

• (EN) Eric W. Weisstein, Densità di Schnirelmann, su MathWorld, Wolfram Research.

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