Criterio di Sylvester

In algebra lineare, il criterio di Sylvester è un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica o un prodotto scalare siano definiti positivi.

Stabilisce che una matrice hermitiana è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida sono positivi.

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice simmetrica reale di dimensione ${\displaystyle n}$. Per ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, sia ${\displaystyle d_{i}}$ il determinante (minore) della matrice ottenuta cancellando da ${\displaystyle A}$ le ultime ${\displaystyle n-i}$ righe e le ultime ${\displaystyle n-i}$ colonne.

Il criterio di Sylvester asserisce che la matrice ${\displaystyle A}$ è definita positiva se e solo se ${\displaystyle d_{i}>0}$ per ogni ${\displaystyle i}$.^[1]

Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative: la matrice ${\displaystyle A}$ è definita negativa se e solo se ${\displaystyle (-1)^{i}d_{i}>0}$ per ogni ${\displaystyle i}$.

La dimostrazione nel seguito è valida per matrici hermitiane non singolari con coefficienti in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ovvero matrici simmetriche non singolari.

Una matrice simmetrica ${\displaystyle A}$ è definita positiva se tutti i suoi autovalori ${\displaystyle \lambda }$ sono maggiori di zero (${\displaystyle \lambda >0}$), mentre è detta definita non-negativa se ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

• Teorema 1: Una matrice simmetrica ${\displaystyle A}$ possiede autovalori non negativi se e solo se può essere fattorizzata come ${\displaystyle A=B^{T}B}$, e tutti gli autovalori sono positivi se e solo se ${\displaystyle B}$ è non singolare.

Per dimostrare l'implicazione diretta, si nota che se ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ è simmetrica allora per il teorema spettrale è diagonalizzabile: esiste una matrice ortogonale ${\displaystyle P}$ tale che ${\displaystyle A=PDP^{T}}$, dove ${\displaystyle D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ è una matrice diagonale reale con sulla diagonale gli autovalori di ${\displaystyle A}$ (che sono gli stessi di ${\displaystyle D}$), e le colonne di ${\displaystyle P}$ sono gli autovettori di ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ per ogni i allora ${\displaystyle D^{1/2}}$ esiste, e si ha:

${\displaystyle A=PDP^{T}=PD^{1/2}D^{1/2}P^{T}=B^{T}B}$

per ${\displaystyle B=D^{1/2}P^{T}}$, dove ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ per ogni i se ${\displaystyle B}$ è non singolare.

Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se ${\displaystyle A}$ può essere fattorizzata come ${\displaystyle A=B^{T}B}$ allora tutti gli autovalori di ${\displaystyle A}$ sono non negativi perché per ogni coppia ${\displaystyle (\lambda ,x)}$ si ha:

${\displaystyle \lambda ={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}={\frac {x^{T}B^{T}Bx}{x^{T}x}}={\frac {||Bx||^{2}}{||x||^{2}}}\geq 0}$

• Teorema 2 (decomposizione di Cholesky): La matrice simmetrica ${\displaystyle A}$ possiede pivot positivi se e solo se può essere fattorizzata come ${\displaystyle A=R^{T}R}$, dove ${\displaystyle R}$ è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi. Si tratta della decomposizione di Cholesky di ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle R}$ è il fattore di Cholesky di ${\displaystyle A}$.

Per dimostrare l'implicazione diretta, se ${\displaystyle A}$ possiede pivot positivi (quindi è possibile una decomposizione LU) allora è possibile una fattorizzazione del tipo ${\displaystyle A=LDU=LDL^{T}}$ in cui ${\displaystyle D=\mathrm {diag} (u_{11},u_{22},\dots ,u_{nn})}$ è la matrice diagonale contenente i pivot ${\displaystyle u_{ii}>0}$:

${\displaystyle A=LU'={\begin{bmatrix}1&0&.&0\\l_{12}&1&.&0\\.&.&.&.\\l_{1n}&l_{2n}&.&1\end{bmatrix}}}$ x ${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&.&u_{1n}\\0&u_{22}&.&u_{2n}\\.&.&.&.\\0&0&.&u_{nn}\end{bmatrix}}=LDU={\begin{bmatrix}1&0&.&0\\l_{12}&1&.&0\\.&.&.&.\\l_{1n}&l_{2n}&.&1\end{bmatrix}}}$ x ${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{11}&0&.&0\\0&u_{22}&.&0\\.&.&.&.\\0&0&.&u_{nn}\end{bmatrix}}}$ x ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&u_{12}/u_{11}&.&u_{1n}/u_{11}\\0&1&.&u_{2n}/u_{22}\\.&.&.&.\\0&0&.&1\end{bmatrix}}}$

Per l'unicità della decomposizione ${\displaystyle LDU}$ così effettuata, la simmetria di ${\displaystyle A}$ produce il fatto che ${\displaystyle U=L^{T}}$, di conseguenza ${\displaystyle A=LDU=LDL^{T}}$. Ponendo ${\displaystyle R=D^{1/2}}$, dove ${\displaystyle D^{1/2}=\mathrm {diag} (\scriptstyle {\sqrt {u_{11}}},\scriptstyle {\sqrt {u_{22}}},\dots ,\scriptstyle {\sqrt {u_{11}}})}$, la simmetria di ${\displaystyle A}$ conduce alla fattorizzazione desiderata in quanto:

${\displaystyle A=LD^{1/2}D^{1/2}L^{T}=R^{T}R}$

e ${\displaystyle R}$ è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi.

Per ottenere l'implicazione inversa, se ${\displaystyle A=RR^{T}}$ con ${\displaystyle R}$ una matrice triangolare inferiore, allora la fattorizzazione è:

${\displaystyle R=LD={\begin{bmatrix}1&0&.&0\\r_{12}/r_{11}&1&.&0\\.&.&.&.\\r_{1n}/r_{11}&r_{2n}/r_{22}&.&1\end{bmatrix}}}$ x ${\displaystyle {\begin{bmatrix}r_{11}&0&.&0\\0&r_{22}&.&0\\.&.&.&.\\0&0&.&r_{nn}\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle L}$ è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e ${\displaystyle D}$ è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi ${\displaystyle r_{ii}}$. Di conseguenza, ${\displaystyle A=LD^{2}L^{T}}$ è la fattorizzazione ${\displaystyle LDU}$ di ${\displaystyle A}$, e così i pivot devono essere positivi perché sono la diagonale di ${\displaystyle D^{2}}$.

• Teorema 3: Sia ${\displaystyle A_{k}}$ la principale sottomatrice di guida di dimensione ${\displaystyle k\times k}$ di ${\displaystyle A_{n\times n}}$. Se ${\displaystyle A}$ posside una fattorizzazione LU allora ${\displaystyle \det(A_{k})=u_{11}\cdot u_{22}\cdot \dots u_{kk}}$ e il k-esimo pivot è ${\displaystyle u_{kk}=\det(A_{1})=a_{11}}$ per ${\displaystyle k=1}$, mentre è ${\displaystyle u_{kk}=\det(A_{k})/\det(A_{k-1})=a_{11}}$ per ${\displaystyle k=2,3,\dots ,n}$.

Combinando i teoremi 1, 2 e 3 si conclude che:

• Se la matrice simmetrica ${\displaystyle A}$ può essere fattorizzata come ${\displaystyle A=R^{T}R}$, dove ${\displaystyle R}$ è triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi positivi, allora tutti i pivot di ${\displaystyle A}$ sono positivi per il teorema 2, e quindi tutti i minori principali di guida di ${\displaystyle A}$ sono positivi per il teorema 3.
• Se la matrice simmetrica non singolare ${\displaystyle A}$ può essere fattorizzata come ${\displaystyle A=B^{T}B}$ allora la decomposizione QR ${\displaystyle B=QR}$ (legata al procedimento di Gram-Schmidt) di ${\displaystyle B}$ produce ${\displaystyle A=B^{T}B=R^{T}Q^{T}QR=R^{T}R}$, dove ${\displaystyle Q}$ è una matrice ortogonale e ${\displaystyle R}$ è triangolare superiore. Si nota che questo enunciato richiede la non singolarità di ${\displaystyle A}$.

Dai risultati ottenuti, in particolare dalle due precedenti osservazioni e dal teorema 1, segue che se una matrice reale simmetrica ${\displaystyle A}$ è definita positiva allora possiede una fattorizzazione della forma ${\displaystyle A=B^{T}B}$, dove ${\displaystyle B}$ è non singolare. L'espressione ${\displaystyle A=B^{T}B}$ implica che ${\displaystyle A}$ può essere fattorizzata come ${\displaystyle A=R^{T}R}$, dove ${\displaystyle R}$ è una matrice triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi maggiori di zero. In altre parole, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali di guida sono positivi. La validità della condizione necessaria e sufficiente è automatica in quanto è stata mostrata per ognuno dei teoremi enunciati.

La matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

è definita positiva, in quanto i determinanti:

${\displaystyle \det(2)=2\qquad \det {\begin{pmatrix}2&2\\2&5\end{pmatrix}}=6\qquad \det {\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{pmatrix}}=1}$

sono tutti positivi.

• (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
• (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140–141, 1996.

• Decomposizione di Cholesky
• Determinante
• Matrice definita positiva
• Matrice hermitiana
• Matrice simmetrica
• Minore (algebra lineare)
• Segnatura (algebra lineare)

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