Costante di Chinčin
Costante di Chinčin | |
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Simbolo | |
Valore | 2,685452001065306445... (sequenza A002210 dell'OEIS) |
Origine del nome | Aleksandr Yakovlevich Khinchin |
Frazione continua | [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, ...] (sequenza A002211 dell'OEIS) |
Campo | numeri reali |
![]() Il grafico mostra come, numericamente, la media geometrica dei quozienti parziali della frazione continua di π (in rosso), γ (in blu) e 2 (in verde) sembrino convergere alla costante di Khinchin. |
In teoria dei numeri, la costante di Khinchin è una costante matematica che ha la proprietà di essere il limite, per quasi tutti i numeri reali, della media geometrica dei primi n quozienti parziali della loro frazione continua. L'esistenza di questa costante, indipendente dal numero di partenza, è stata dimostrata da Aleksandr Yakovlevich Khinchin. È denotata con K0.
Il suo valore è
Non è noto se la costante di Khinchin sia irrazionale.
Tra i numeri che non hanno questa proprietà vi sono i numeri razionali, gli irrazionali quadratici ed e; si suppone invece che π, la costante di Eulero-Mascheroni γ e la stessa costante di Khinchin la verifichino, ma questo non è stato dimostrato né per loro né per alcun altro numero, sebbene siano state costruite successioni la cui media geometrica tende a K0.
Formule
Vi sono varie formule che esprimono la costante di Khinchin. Come produttoria, si ha
mentre usando la funzione zeta di Riemann si ha
Due rappresentazioni integrali sono
dove Γ indica la funzione Gamma, e
Ulteriori costanti
Generalizzando la media geometrica, è stato dimostrato che per quasi tutti gli x la media
è indipendente da x, e pari a
Per , il limite di Kp è la costante di Khinchin.
Bibliografia
- David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall, On the Khintchine Constant (PDF), in Math. Comp., vol. 66, n. 217, 1995, pp. 417-431 (archiviato dall'url originale il 6 luglio 2010).
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Chinčin, su MathWorld, Wolfram Research.
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