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Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo
e un vettore intero non negativo
di norma uno (
) uguale a
, il coefficiente multinomiale è definito come
![{\displaystyle {n \choose \mathbf {k} }:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bfc79301d716f114311b6d219b19cc4d932e73)
ed è sempre un numero naturale.
(
è il simbolo della produttoria).
Teorema multinomiale
Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:
![{\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b0022075e32fd395f7d7e5a4bfd8b442cb4a76)
ovvero
![{\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a76fb7590af1c1e0e342942edc90a3b4f55a0a)
dove
indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a
.
Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:
![{\displaystyle x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15fd81a00ea0673ef59837c5ac5ad4105487535)
con le norme unitarie:
![{\displaystyle k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd971f0458d778f4a294ce7686398304d15a7b2)
![{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa6ccb6ce1b25739657b6fd9654b8ca2d42e781)
e:
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a73c0a8280df326d4809356884e1524244d9fa5)
Applicazioni
Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi
oggetti in
scatole, tali che
oggetti stiano nella prima scatola,
nella seconda, e così via.
Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di
oggetti, di cui
uguali tra loro,
uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi
essere uguale a
, e avendosi così
.
Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:
![{\displaystyle P(\mathbf {x} =\mathbf {k} )={n \choose \mathbf {k} }\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d3826906dbaf185b0276c722037a815c4b3f5d)
una variabile casuale discreta.
Per
= 1 si ha:
.
Esempio
Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?
![{\displaystyle {32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bbf666a6c755d2fc942b9dca79e948962088f9)
Voci correlate
- Calcolo combinatorio
- Coefficiente binomiale
- Probabilità
- Teorema binomiale
- Variabile casuale multinomiale
Collegamenti esterni
- (EN) multinomial coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
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- (EN) Eric W. Weisstein, Coefficiente multinomiale, su MathWorld, Wolfram Research.
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