Algoritmo di Chudnovsky

L'algoritmo di Chudnovsky rappresenta un metodo veloce per il calcolo delle cifre decimali della costante Pi greco. Fu pubblicato dai Fratelli Čudnovskij nel 1989[1], ed usato per ottenere il record mondiale con il calcolo di 2,7 bilioni di cifre decimali di π nel dicembre del 2009[2], 5 bilioni di cifre decimali nell'agosto del 2010[3], 10 bilioni di cifre decimali nell'ottobre del 2011[4][5] e 12,1 bilioni di decimali del dicembre del 2013[6], 62,83 bilioni di cifre decimali nel 2022[7].

L'algoritmo di basa sul numero di Heegner negato d = − 163 {\displaystyle d=-163} , la funzione j j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 {\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}} e sulla rapida convergenza della serie ipergeometrica generalizzata:

1 π = 12 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 6 k ) ! ( 545140134 k + 13591409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( 640320 3 ) k + 1 / 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(640320^{3})^{k+1/2}}}.\!}

Si noti che 545140134 = 163 x 3344418 e,

e π 163 ≈ 640320 3 + 743.99999999999925 … {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots }

Questa identità è simile a quella di alcune formule di Ramanujan che riguardano π[2] ed è un esempio di una Serie di Ramanujan–Sato.

Note

  1. ^ David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky, The Computation of Classical Constants, in Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 86, n. 21, 1989, pp. 8178–8182, DOI:10.1073/pnas.86.21.8178, ISSN 0027-8424 (WC · ACNP), JSTOR 34831, PMC 298242, PMID 16594075..
  2. ^ a b Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt e Heng Huat Chan, Ramanujan's series for 1/π: a survey, in American Mathematical Monthly, vol. 116, n. 7, 2009, pp. 567–587, DOI:10.4169/193009709X458555, JSTOR 40391165, MR 2549375..
  3. ^ Geeks slice pi to 5 trillion decimal places, Australian Broadcasting Corporation, 6 agosto 2010..
  4. ^ Alexander Yee e Shigeru Kondo, 10 Trillion Digits of Pi: A Case Study of summing Hypergeometric Series to high precision on Multicore Systems, Technical Report, Computer Science Department, University of Illinois, 2011.
  5. ^ Jacob Aron, Constants clash on pi day, in NewScientist, 14 marzo 2012.
  6. ^ Alexander J. Yee e Shigeru Kondo, 12.1 Trillion Digits of Pi, su numberworld.org, 28 dicembre 2013.
  7. ^ (EN) New value of pi calculated by Swiss university at over 62 trillion digits, su Guinness World Records, 14 marzo 2022. URL consultato il 24 aprile 2023.
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