Teorema akar rasional

${\displaystyle x^{3}-4x^{2}+2x-8=0}$

Nilai ${\displaystyle x}$	Nilai ${\displaystyle P(x)}$
${\displaystyle -8}$	${\displaystyle -792}$
${\displaystyle -4}$	${\displaystyle -144}$
${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -36}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -15}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -9}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -12}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 264}$

Teorema akar rasional atau uji akar rasional^[1] atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.^[2][1]. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$,

dimana ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} }$. Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

${\displaystyle x=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a_{n}}}\right\}}$,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi ${\displaystyle x}$ (adalah bilangan rasional) harus membagi habis ${\displaystyle a_{n}}$ dan ${\displaystyle a_{0}}$.

Misalnya, diberikan persamaan ${\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0}$. Pada kasus ini, ${\displaystyle -8}$ memiliki faktor ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8}$ dan ${\displaystyle 1}$ memiliki faktor ${\displaystyle \pm 1}$. Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah ${\displaystyle \pm \{1,2,4,8\}}$. Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai ${\displaystyle x}$ agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh ${\displaystyle x=4}$.

Misal ${\textstyle x={\frac {p}{q}}}$ adalah akar rasional pada persamaan polinomial ${\displaystyle P(x)}$. Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa ${\displaystyle p\mid a_{0}}$ dan ${\displaystyle q\mid a_{n}}$, dimana ${\displaystyle \operatorname {FPB} (p,q)=1}$. Substitusi nilai ${\displaystyle x}$ sehingga kita memperoleh

${\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0}$.

Kita akan membuktikan bahwa ${\displaystyle p}$ membagi habis ${\displaystyle a_{0}}$. Mula-mula, kita pindah-ruaskan ${\displaystyle a_{0}}$.

${\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a_{0}}$.

Bagi kedua ruas dengan ${\displaystyle q^{n}}$ dan faktor-keluarkan ${\displaystyle p}$ untuk ruas kiri. Kita memperoleh

${\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+\cdots +a_{1}\right)=-a_{0}q^{n}}$.

Disini, kita memperoleh bahwa ${\displaystyle p}$ membagi habis ${\displaystyle a_{0}}$. Sekarang, kita membuktikan ${\displaystyle q}$ membagi habis ${\displaystyle a_{n}}$. Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan ${\textstyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}}$ dan kalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle q^{n}}$.

${\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots +a_{1}pq^{n+1}+a_{0}q^{n}\right)=-a_{n}p^{n}}$.

Disini, kita memperoleh bahwa ${\displaystyle q}$ membagi habis ${\displaystyle a_{n}}$. ${\displaystyle \blacksquare }$^[3]

1. ^ ^{a b} "Teorema akar rasional | matematika". Teorema akar rasional | matematika. 2020-06-27. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-20. 
2. ^ "Sutori". www.sutori.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-23. 
3. ^ "Teorema Akar Rasional". ICHI.PRO. Diakses tanggal 2021-12-20.