Kalkulus |
---|
- Teorema nilai purata
- Teorema Rolle
|
Diferensial Definisi |
---|
- Tabel turunan
- Diferensial
- infinitesimal
- fungsi
- total
| Konsep |
---|
- Notasi untuk pendiferensialan
- Turunan kedua
- Turunan ketiga
- Perubahan variabel
- Pendiferensialan implisit
- Laju yang berkaitan
- Teorema Taylor
| Kaidah dan identitas |
---|
- Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
- Perkalian
- Rantai
- Pangkat
- Pembagian
- Rumus Faà di Bruno
|
|
Integral Definisi |
---|
| Integrasi secara |
---|
|
|
Deret | Uji kekonvergenan |
---|
- uji suku
- rasio
- akar
- integral
- perbandingan langsung
perbandingan limit - deret selang-seling
- kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
|
|
|
|
Khusus - fraksional
- Malliavin
- stokastik
- variasi
|
|
Dalam kalkulus, kaidah hasil bagi adalah cara untuk menemukan turunan sebuah fungsi yang terdiri dari hasil bagi dua fungsi lain yang eksistensi turunannya sudah diketahui.
Bila fungsi yang ingin didiferensiasikan f(x) dapat ditulis sebagai
,
dan h(x) ≠ 0, maka kaidah hasil bagi menyatakan bahwa turunan g(x)/h(x) dapat dihitung sebagai berikut:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82716522b2b3cc19edf82b02a632d1b6156d0759)
Atau lebih tepatnya, untuk semua x dalam sebuah himpunan terbuka (dalam bilangan riil ini adalah selang terbuka) beranggotakan bilangan a, dengan h(a) ≠ 0, dan g'(a) serta h'(a) keduanya eksis, maka f'(a) juga eksis:
![{\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0779043771999428ad8ffa2d1b117b46263b1e59)
Bukti
Misalkan
dengan
, g dan h diferensiabel. Dari definisi turunan kita dapat menuliskan:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca3d8269580acf29b400e59de00497d072838f0)
Dengan menarik keluar
dan menjumlahkan pecahan di pembilang:
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be85334abb92dd1f323719ab818f116a9cd870d)
Menambahkan suku
pada pembilang dan menyusun ulang memberikan
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acbec03d8eff19d3f0448a8db4354f928080594)
Memfaktorkan dan mengalikan
di pembilang menghasilkan:
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99aa94efa699a20044e530f97bdadb1e224c3c81)
![{\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c16601cf130b96f4c90cc55f43ed97a7018699)
Dari definisi turunan, limit-limit di pembilang adalah turunan. Jadi kita mendapatkan
![{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c052044209e96b2824a60be415ce8d286e6b11c3)
![Ikon rintisan](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Breezeicons-categories-32-applications-education-mathematics.svg/30px-Breezeicons-categories-32-applications-education-mathematics.svg.png) | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |