Grup-p

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Dalam matematika, khususnya teori grup, pada bilangan prima p, a grup-p adalah grup di mana urutan dari setiap elemen adalah daya dari p . Artinya, untuk setiap elemen g dari grup- p G , terdapat bilangan bulat nonnegatif n sehingga produk dari pⁿ salinan g , dan tidak lebih sedikit, sama dengan elemen identitas. Urutan elemen yang berbeda mungkin kekuatan yang berbeda dari p .

Abelian p - grup juga disebut primer-p atau hanya primer.

Sebuah grup terbatas adalah grup p jika dan hanya jika urutan (jumlah elemennya) adalah pangkat dari p . Diberikan grup terbatas G , Teorema Sylow menjamin keberadaan subgrup dari G dengan urutan p ⁿ untuk setiap prime power p ⁿ yang membagi urutan '

Sisa artikel ini membahas grup p terbatas. Untuk contoh grup abelian p tak hingga, lihat Grup Prüfer, dan untuk contoh grup sederhana p tak terbatas, lihat Grup monster Tarski.

Setiap grup- p adalah periodik karena menurut definisi setiap elemen memiliki urutan hingga.

Jika p adalah bilangan prima dan G adalah segrup urutan p^k, kemudian G memiliki subgrup biasa p^m untuk setiap 1 ≤ m ≤ k. Ini diikuti oleh induksi, menggunakan Teorema Cauchy dan Teorema Korespondensi untuk grup. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut: karena pusat Z dari G adalah non-trivial (lihat di bawah), menurut Teorema Cauchy Z memiliki subgrup H dari urutan p . Menjadi pusat di G , H selalu normal di G . Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induktif ke G/H , dan hasilnya mengikuti Teorema Korespondensi.

Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan persamaan kelas adalah bahwa pusat grup p berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.^[1]

This forms the basis for many inductive methods in p-groups.

Misalnya, normalizer N dari subgrup yang tepat H dari p terbatas, grup G dengan benar berisi H , karena untuk contoh counter dengan H = N, pusat Z ada di N , dan begitu juga di H , tapi kemudian ada contoh yang lebih kecil H/Z yang normalnya masuk G/Z adalah N/Z = H/Z, menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup p yang terbatas adalah nilpoten.

Di arah lain, setiap subgrup normal dari p terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen N yang diperbaiki ketika G bekerja pada N melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup p terbatas adalah pusat dan memiliki urutan p . Memang, socle dari grup p berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan p .

Jika G adalah grup p -, maka G/Z, dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam G dari pusat G / Z disebut pusat kedua dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah p yang terbatas, grup dengan urutan p ⁿ berisi subgrup normal dari order p ⁱ dengan 0 ≤ i ≤ n, dan subgrup normal manapun pⁱ terkandung di pusat i Z_i. Jika subgrup normal tidak terdapat di Z_i, lalu perpotongannya dengan Z_i+1 memiliki ukuran setidaknya pⁱ⁺¹.

Grup automorfisme grup p dipelajari dengan baik. Sama seperti setiap grup p yang terbatas memiliki pusat non-trivial sehingga grup automorfisme dalam adalah hasil bagi grup yang tepat, setiap grup p terbatas memiliki non-trivial grup automorfisme luar. Setiap automorfisme dari G menginduksi automorfisme G/Φ(G), dimana Φ(G) adalah subgrup Frattini dari G . Hasil bagi G/Φ(G) adalah grup abelian dasar dan grup automorfisme adalah grup linear umum, jadi sangat dipahami. Peta dari kelompok automorfisme G ke dalam kelompok linier umum ini telah dipelajari oleh Burnside, yang menunjukkan bahwa kernel dari peta ini adalah grup p .

• Grup elementer
• Peringkat Prüfer
• Grup-P reguler

Catatan buku