Gelanggang monoid

Dalam aljabar abstrak, gelanggang monoid adalah gelanggang yang dibangun dari sebuah gelanggang dan monoid, sama seperti grup gelanggang dibangun dari sebuah cincin dan grup.

Definisi

Maka R menjadi cincin dan biarkan G menjadi monoid. Gelanggang monoid atau aljabar monoid dari G di atas R , dilambangkan dengan R [ G ] atau RG , adalah himpunan jumlah formal $\sum _{g\in G}r_{g}g$ , dimana $r_{g}\in R$ untuk $g\in G$ dan r_g = 0 untuk semua kecuali banyak g , dilengkapi dengan penjumlahan berdasarkan koefisien, dan perkalian di mana elemen R berpindah dengan elemen G . Lebih formal, R [ G ] adalah himpunan fungsi φ: G → R pada {g : φ(g) ≠ 0} terbatas, dilengkapi dengan penambahan fungsi, dan dengan perkalian yang ditentukan oleh

(\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )

Jika G adalah group, maka R [ G ] juga disebut grup gelanggang dari G lebih dari R.

Sifat universal

Diberikan R dan G , ada gelanggang homomorfisme α: R → R[G] mengirim setiap r ke r1 (di mana 1 adalah elemen identitas G ), dan homomorfisme monoid β: G → R[G] (di mana yang terakhir dipandang sebagai monoid dalam perkalian) mengirim setiap g ke 1g (di mana 1 adalah identitas perkalian R). Kami memiliki α ( r ) bolak-balik dengan β( g ) untuk semua r di R dan g pada G .

Sifat universal dari gelanggang monoid menyatakan bahwa gelanggang S , dari sebuah gelanggang homomorfisme α': R → S, dan homomorfisme monoid β': G → S ke monoid perkalian dari S , sedemikian rupa sehingga α'(r) dengan β'( g ) untuk semua r di R dan g di G , ada homomorfisme cincin yang unik γ: R[G] → S Sehingga penyusunan α dan β dengan γ menghasilkan α 'dan β'.

Augmentasi

Augmentasi adalah homomorfisme gelanggang η: R[G] → R pada definisikan oleh

\eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.

kernel dari η disebut augmentasi ideal. Ini adalah bebas R modul dengan basis yang terdiri dari 1 - g untuk semua g pada G tidak sama dengan 1.

Contoh

Diberikan cincin R dan monoid (aditif) dari bilangan asli s N (atau {xⁿ} dilihat secara multiplikasi), kami mendapatkan gelanggang R[{xⁿ}] =: R[x] dari polinomial di atas R . Monoid Nⁿ (dengan tambahan) memberikan gelanggang polinomial dengan variabel n : R[Nⁿ] =: R[X₁, ..., X_n].