Fungsi konveks

Dalam analisis matematika, suatu fungsi bernilai riil ${\displaystyle f}$ yang didefinisikan pada suatu selang ${\displaystyle I}$ disebut fungsi konveks pada selang tersebut apabila untuk sebarang dua titik ${\displaystyle x,y\in I}$, untuk setiap ${\displaystyle t}$ dalam [0,1] berlaku ^[1]

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$.

Secara grafik, artinya ruas garis yang ditarik antara titik ${\displaystyle (y,f(y))}$ dan ${\displaystyle (x,f(y))}$ berada di atas grafik fungsi ${\displaystyle f}$. Setara dengan itu, dengan kata lain dapat juga dikatakan bahwa fungsi ${\displaystyle f}$ adalah fungsi kompleks jika dan hanya jika epigraf (bagian di atas grafik) fungsi itu merupakan himpunan cembung.

Di antara kajian awal mengenai sifat-sifat fungsi kompleks ini dilakukan oleh Johan Ludwig Jensen seorang matematikawan Denmark. Peridaksamaan Jensen merupakan suatu landasan penting dalam teori peluang, teori ukuran, dan analisis.