Aljabar Boolean (struktur)

Dalam aljabar abstrak, sebuah aljabar Boolean atau kekisi Boolean adalah kelengkapan kekisi distributif. Jenis struktur aljabar ini menangkap sifat penting dari operasi himpunan dan operasi logika. Aljabar Boolean dapat dilihat sebagai generalisasi dari aljabar himpunan daya atau himpunan medan, atau elemennya dapat dilihat sebagai nilai kebenaran yang digeneralisasi. Ini juga merupakan kasus khusus dari aljabar De Morgan dan aljabar Kleene (dengan involusi).

Setiap aljabar Boolean tingkatan ke gelanggang Boolean, dan sebaliknya, dengan perkalian gelanggang yang sesuai dengan konjungsi atau pertemuan ∧, dan penambahan gelanggang ke disjungsi eksklusif atau perbedaan simetris (bukan disjungsi ∨). Namun, teori gelanggang Boolean memiliki asimetri yang melekat antara dua operator, sedangkan aksioma dan teorema aljabar Boolean menyatakan simetri teori yang dijelaskan oleh prinsip dualitas.^[1]

Istilah "aljabar Boolean" sebagai tanda jasa oleh George Boole (1815–1864), seorang matematikawan Inggris yang belajar sendiri. Ia memperkenalkan sistem aljabar awalnya dalam pamflet kecil dengan buku The Mathematical Analysis of Logic, diterbitkan pada tahun 1847 sebagai tanggapan atas kontroversi publik yang sedang berlangsung diantara Augustus De Morgan dan William Hamilton, dan kemudian sebagai buku yang lebih substansial, buku The Laws of Thought, diterbitkan pada tahun 1854. Rumus Boole berbeda dari yang dijelaskan di atas dalam beberapa hal penting. Misalnya, konjungsi dan disjungsi dalam Boole bukanlah operasi sepasang ganda. Aljabar Boolean muncul pada tahun 1860-an, dalam makalah yang ditulis oleh William Jevons dan Charles Sanders Peirce. Presentasi sistematis pertama dari aljabar Boolean dan kekisi distributif adalah berkat "Vorlesungen" 1890 dari Ernst Schröder. Perlakuan ekstensif pertama kali dari aljabar Boolean dalam bahasa Inggris adalah A. N. Whitehead 1898 Aljabar Universal. Aljabar Boolean sebagai struktur aljabar aksiomatik dalam pengertian aksiomatik modern dimulai dengan makalah tahun 1904 oleh Edward V. Huntington. Aljabar Boolean muncul sebagai matematika dengan karya Marshall Stone pada 1930-an, dan dengan Garrett Birkhoff 1940 yang memperkenalkan Teori Kekisi. Pada tahun 1960-an, Paul Cohen, Dana Scott, dan lainnya menemukan hasil baru yang mendalam dalam logika matematika dan teori himpunan aksiomatik menggunakan cabang aljabar Boolean, yaitu paksaan dan model kenilaian Boolean.

Sebuah aljabar Boolean adalah enam-tupel yang terdiri dari himpunan A, dilengkapi dengan dua operasi biner ∧ (disebut "pertemuan" atau "dan"), ∨ (disebut "sambungan" atau "atau"), sebuah operasi uner ¬ (disebut "kelengkapan" atau "bukan") dan dua elemen 0 dan 1 di A (disebut elemen "bawah" dan "atas", atau "terkecil" dan "terbesar", yang dilambangkan dengan simbol ⊥ dan ⊤), sehingga untuk semua elemen a, b dan c dari A, aksioma berikut ini berlaku:^[2]

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c	a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c	asosiatif
a ∨ b = b ∨ a	a ∧ b = b ∧ a	komutatifitas
a ∨ (a ∧ b) = a	a ∧ (a ∨ b) = a	serapan
a ∨ 0 = a	a ∧ 1 = a	identitas
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)	a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)	distribusitif
a ∨ ¬a = 1	a ∧ ¬a = 0	kelengkapan

Perhatikan, pada hukum serapan dan bahkan hukum asosiatif dapat dikeluarkan dari himpunan aksioma karena mereka dapat diturunkan dari aksioma lainnya (lihat Sifat pembuktian).

Aljabar Boolean dengan hanya satu elemen disebut aljabar Boolean trivial atau aljabar Boolean degenerasi (catatan: dalam karya-karya yang lebih tua, beberapa penulis mengharuskan 0 dan 1 menjadi elemen "berbeda" untuk mengecualikan kasus ini).^{[butuh rujukan]}

Ini mengikuti dari tiga pasang aksioma terakhir di atas (identitas, distributif dan komplemen), atau dari aksioma penyerapan, bahwa

a = b ∧ a     jika dan hanya jika     a ∨ b = b.

Relasi ≤ yang didefinisikan oleh a ≤ b jika kondisi ekuivalen ini berlaku, adalah urutan parsial dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1. Pertemuan a ∧ b dan sambungan a ∨ b dari dua elemen bertepatan dengan infimum dan supremum yang sehubungan dengan ≤.

Empat pasang aksioma pertama merupakan definisi dari kekisi terbatas.

Dari lima pasang aksioma pertama, setiap komplemen adalah unik.

Himpunan aksioma adalah hasil ganda dalam arti bahwa jika seseorang bertukar ∨ dengan ∧ dan 0 dengan 1 dalam aksioma yang hasilnya adalah aksioma. Oleh karena itu, dengan menerapkan operasi ini ke aljabar Boolean (atau kekisi Boolean), satu memperoleh aljabar Boolean lain dengan elemen yang sama; yang disebut juga sebagai dual.^[3]

• Aljabar Boolean non-trivial sederhana, dan aljabar Boolean dua elemen hanya memiliki dua elemen 0 dan 1, dan didefinisikan oleh aturan:

∧ 0 1 0 0 0 1 0 1

∨ 0 1 0 0 1 1 1 1

a 0 1 ¬a 1 0

• Ini memiliki aplikasi dalam logika, menafsirkan 0 sebagai salah, 1 sebagai benar, ∧ sebagai dan, ∨ sebagai atau, dan ¬ sebagai bukan. Ekspresi yang melibatkan variabel dan operasi Boolean mewakili bentuk pernyataan, dan dua ekspresi tersebut dapat ditunjukkan sama dengan menggunakan aksioma di atas jika dan hanya jika bentuk pernyataan yang sesuai adalah ekuivalen secara logi5.

• Aljabar Boolean dua elemen juga digunakan untuk desain sirkuit di teknik elektro;^{[catatan 1]} disini 0 dan 1 mewakili dua status berbeda dari satu bit dalam sirkuit digital, biasanya tegangan tinggi dan rendah. Sirkuit dijelaskan oleh ekspresi yang mengandung variabel, dan dua ekspresi tersebut sama untuk semua nilai variabel jika dan hanya jika sirkuit yang sesuai memiliki perilaku input-output yang sama. Selanjutnya, setiap perilaku input-output yang mungkin dimodelkan dengan ekspresi Boolean.

• Aljabar Boolean dua elemen juga penting dalam teori umum aljabar Boolean, karena persamaan yang melibatkan beberapa variabel umumnya benar dalam semua aljabar Boolean jika dan hanya jika benar dalam aljabar Boolean dua elemen (apabila memeriksa dengan algoritma paksa brute trivial untuk sejumlah kecil variabel). Ini misalnya dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa hukum berikut (Teorema konsensus) umumnya berlaku di semua aljabar Boolean:
  • (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c)
  • (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)

• Himpunan daya (himpunan dari semua himpunan bagian) dari himpunan tak kosong S dalam bentuk aljabar Boolean, sebuah aljabar himpunan, dengan dua operasi ∨ := ∪ (gabungan) and ∧ := ∩ (persimpangan/irisan). Elemen terkecil 0 adalah himpunan kosong dan elemen terbesar 1 adalah himpunan S sendiri.

• Setelah aljabar Boolean dua elemen, aljabar Boolean sederhana adalah yang didefinisikan oleh himpunan daya dari dua atom:

∧ 0 a b 1 0 0 0 0 0 a 0 a 0 a b 0 0 b b 1 0 a b 1

∨ 0 a b 1 0 0 a b 1 a a a 1 1 b b 1 b 1 1 1 1 1 1

x 0 a b 1 ¬x 1 b a 0

• Himpunan (dari semua himpunan bagian) dari S hingga atau kofinit adalah aljabar Boolean, sebuah aljabar himpunan.
• Dimulai dengan kalkulus proposisional dengan simbol kalimat κ, bentuk aljabar Lindenbaum (yaitu, himpunan kalimat dalam modulo kalkulus proposisional ekuivalen logika). Konstruksi ini menghasilkan sebagai aljabar Boolean. Sebenarnya aljabar Boolean bebas adalah generator. Penugasan kebenaran dalam kalkulus proposisi adalah homomorfisme aljabar Boolean dari aljabar ini ke aljabar Boolean dua elemen.
• Diberikan setiap urutan linearitas pada himpunan L dengan elemen terkecil, aljabar interval adalah aljabar terkecil dari himpunan bagian L yang berisi semua interval setengah terbuka [a, b) sehingga a apabila L dan b adalah L atau sama dengan ∞. Aljabar interval berguna dalam mempelajari aljabar Lindenbaum–Tarski; setiap aljabar Boolean yang dapat dihitung adalah isomorfik terhadap aljabar interval.

• Untuk sembarang bilangan asli n, himpunan semua pembagian positif dari n, mendefinisikan a≤b jika a membagi b, dalam bentuk kekisi distributif. Kekisi ini adalah aljabar Boolean jika dan hanya jika n adalah persegi bebas. Elemen bawah dan elemen atas aljabar Boolean ini masing-masing adalah bilangan asli 1 dan n. Kekomplemen dari a diberikan oleh n/a. Pertemuan dan sambungan dari a dan b diberikan oleh faktor persekutuan terbesar (fpb) dan kelipatan persekutuan terkecil (kpt) dari a dan b. Penambahan gelanggang a+b diberikan oleh fpb(a,b)/kpt(a,b). Citra menunjukkan contoh untuk n = 30. Sebagai contoh tandingan, dengan mempertimbangkan non-persegi-bebas n=60, faktor persekutuan terbesar dari 30 dan komplemennya 2 adalah 2, sementara itu harus menjadi elemen terbawah 1.
• Contoh lain dari aljabar Boolean muncul dari ruang topologi: jika X adalah ruang topologi, maka kumpulan semua himpunan bagian X maupun terbuka dan tertutup dalam bentuk aljabar Boolean dengan operasi ∨ := ∪ (gabungan) dan ∧ := ∩ (persimpangan/irisan).
• Jika R adalah gelanggang sebarang dan kami mendefinisikan himpunan idempoten sentral dengan
  A = { e ∈ R : e² = e, ex = xe, ∀x ∈ R }
  maka himpunan A sebagai aljabar Boolean dengan operasi e ∨ f := e + f - ef dan e ∧ f := ef.

Sebuah homomorfisme antara dua aljabar Boolean A dan B adalah fungsi f : A → B sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b di A:

f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b),

f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b),

f(0) = 0,

f(1) = 1.

Maka mengikuti bahwa f (¬a) = ¬f(a) untuk semua a di A. kelas dari semua aljabar Boolean, bersama dengan gagasan morfisme ini, dalam bentuk subkategori penuh dari kekisi kategori.

Sebuah isomorfisme antara dua aljabar Boolean A dan B adalah homomorfisme f : A → B dengan homomorfisme invers, yaitu homomorfisme g : B → A sedemikian rupa sehingga komposisi g ∘ f: A → A adalah fungsi identitas pada A, dan komposisi f ∘ g: B → B adalah fungsi identitas pada B. Homomorfisme aljabar Boolean adalah isomorfisme jika dan hanya jika bijektif.

Setiap aljabar Boolean (A, ∧, ∨) diberikan gelanggang (A, +, ·) dengan mendefinisikan a + b := (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) (operasi ini disebut perbedaan simetris dalam kasus himpunan dan XOR dalam kasus logika) dan a · b := a ∧ b). Elemen nol dari gelanggang ini bertepatan dengan 0 dari aljabar Boolean; elemen identitas perkalian dari gelanggang adalah 1 dari aljabar Boolean. Gelanggang ini memiliki sifat bahwa a · a = a untuk semua a di A; gelanggang dengan sifat ini disebut gelanggang Boolean.

Sebaliknya, jika diberikan gelanggang Boolean A, kita dapat mengubahnya menjadi aljabar Boolean dengan mendefinisikan x ∨ y := x + y + (x · y) dan x ∧ y := x · y.^[4][5] Karena kedua konstruksi ini adalah invers, apabila setiap gelanggang Boolean sebagai dari aljabar Boolean, dan sebaliknya. Selanjutnya, peta f : A → B adalah homomorfisme aljabar Boolean jika dan hanya jika itu adalah homomorfisme gelanggang Boolean. Kategori gelanggang Boolean dan aljabar Boolean adalah ekuivalen.^[6]

Hsiang (1985) memberikan algoritma berbasis aturan ke pemeriksaan apakah dua ekspresi sebarang menunjukkan nilai yang sama di setiap gelanggang Boolean. Secara umum, Boudet, Jouannaud, dan Schmidt-Schauß (1989) diberikan algoritma untuk menyelesaikan persamaan antara ekspresi gelanggang Boolean berubah. Menggunakan kesamaan gelanggang Boolean dan aljabar Boolean, kedua algoritma memiliki aplikasi dalam pembuktian teorema otomatis.

Sebuah ideal dari aljabar Boolean A adalah himpunan bagian I sehingga untuk semua x, y di I maka memiliki x ∨ y di I dan untuk semua a di A maka memiliki a ∧ x di I. Gagasan ideal ini bertepatan dengan gagasan ranah gelanggang dalam gelanggang Boolean A. Sebuah ideal I dari A disebut juga prima jika I ≠ A dan jika a ∧ b in I selalu menyiratkan a di A atau b di A. Selanjutnya, untuk setiap a ∈ A memiliki a itu ∧ -a = 0 ∈ I dan maka a ∈ I atau -a ∈ I untuk setiap a ∈ A, jika A adalah bilangan prima. Sebuah I ideal dari A disebut juga maksimal jika I'' ≠ A dan jika satu-satunya ideal I adalah A. Untuk "I" yang ideal, jika a ∉ I dan -a ∉ I, maka I ∪ {a} or I ∪ {-a} yang terkandung dalam ideal lain J. Oleh karena itu, bahwa "I" tak maksimal dan oleh karena itu gagasan tentang ideal prima dan ideal maksimal setara dalam aljabar Boolean. Selain itu, gagasan ini bertepatan dengan teori gelanggang ranah prima dan ranah maksimal dalam gelanggang Boolean A.

Kesamaan dari ideal adalah filter. Sebuah filter dari aljabar Boolean A adalah himpunan bagian p sehingga untuk semua x, y di p memiliki x ∧ y di p dan untuk semua a di A kami memiliki a ∨ x di p. Ganda dari maksimal (atau prima) ideal dalam aljabar Boolean adalah ultrafilter. Ultrafilter sebagai alternatif dapat digambarkan sebagai morfisme nilai-2 dari A ke aljabar Boolean dua elemen. Pernyataan setiap filter dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ultrafilter disebut teorema ultrafilter dan tidak dapat dibuktikan dalam ZF, jika ZF adalah konsisten. Teorema ultrafilter memiliki banyak rumus ekuivalen: setiap aljabar Boolean memiliki ultrafilter, setiap ranah dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ranah prima, dll.

Dapat ditunjukkan bahwa setiap aljabar Boolean hingga adalah isomorfik terhadap aljabar Boolean dari semua himpunan bagian dari himpunan hingga. Oleh karena itu, jumlah elemen dari setiap aljabar Boolean hingga adalah pangkat dua.

Stone's merayakan teorema wakilan untuk aljabar Boolean menyatakan bahwa setiap aljabar Boolean A isomorfik dengan aljabar Boolean dari semua himpunan tertutup di beberapa (kompak urutan terputus Hausdorff.

Sifat pembuktian
UId1 Jika x ∨ o = x untuk semua x, maka o = 0 Bukti: If x ∨ o = x, maka 0 = 0 ∨ o dengan asumsi = o ∨ 0 dengan Cmm1 = o dengan Idn1	UId2   [dual]   Jika x ∧ i = x untuk semua x, maka i = 1
Idm1 x ∨ x = x Bukti: x ∨ x = (x ∨ x) ∧ 1 dengan Idn2 = (x ∨ x) ∧ (x ∨ ¬x) dengan Cpl1 = x ∨ (x ∧ ¬x) dengan Dst1 = x ∨ 0 dengan Cpl2 = x dengan Idn1	Idm2   [dual]   x ∧ x = x
Bnd1 x ∨ 1 = 1 Bukti: x ∨ 1 = (x ∨ 1) ∧ 1 dengan Idn2 = 1 ∧ (x ∨ 1) dengan Cmm2 = (x ∨ ¬x) ∧ (x ∨ 1) dengan Cpl1 = x ∨ (¬x ∧ 1) dengan Dst1 = x ∨ ¬x dengan Idn2 = 1 dengan Cpl1	Bnd2   [dual]   x ∧ 0 = 0
Abs1 x ∨ (x ∧ y) = x Bukti: x ∨ (x ∧ y) = (x ∧ 1) ∨ (x ∧ y) dengan Idn2 = x ∧ (1 ∨ y) dengan Dst2 = x ∧ (y ∨ 1) dengan Cmm1 = x ∧ 1 dengan Bnd1 = x dengan Idn2	Abs2   [dual]   x ∧ (x ∨ y) = x
UNg Jika x ∨ xn = 1 dan x ∧ xn = 0, maka xn = ¬x Bukti: Jika x ∨ xn = 1 dan x ∧ xn = 0, maka xn = xn ∧ 1 dengan Idn2 = xn ∧ (x ∨ ¬x) dengan Cpl1 = (xn ∧ x) ∨ (xn ∧ ¬x) dengan Dst2 = (x ∧ xn) ∨ (¬x ∧ xn) dengan Cmm2 = 0 ∨ (¬x ∧ xn) dengan asumsi = (x ∧ ¬x) ∨ (¬x ∧ xn) dengan Cpl2 = (¬x ∧ x) ∨ (¬x ∧ xn) dengan Cmm2 = ¬x ∧ (x ∨ xn) dengan Dst2 = ¬x ∧ 1 dengan asumsi = ¬x dengan Idn2
DNg ¬¬x = x Bukti: ¬x ∨ x = x ∨ ¬x = 1 dengan Cmm1, Cpl1 and ¬x ∧ x = x ∧ ¬x = 0 dengan Cmm2, Cpl2 karenanya x = ¬¬x dengan UNg
A1 x ∨ (¬x ∨ y) = 1 Bukti: x ∨ (¬x ∨ y) = (x ∨ (¬x ∨ y)) ∧ 1 dengan Idn2 = 1 ∧ (x ∨ (¬x ∨ y)) dengan Cmm2 = (x ∨ ¬x) ∧ (x ∨ (¬x ∨ y)) dengan Cpl1 = x ∨ (¬x ∧ (¬x ∨ y)) dengan Dst1 = x ∨ ¬x dengan Abs2 = 1 dengan Cpl1	A2   [dual]   x ∧ (¬x ∧ y) = 0
B1 (x ∨ y) ∨ (¬x ∧ ¬y) = 1 Bukti: (x ∨ y) ∨ (¬x ∧ ¬y) = ((x ∨ y) ∨ ¬x) ∧ ((x ∨ y) ∨ ¬y) dengan Dst1 = (¬x ∨ (x ∨ y)) ∧ (¬y ∨ (y ∨ x)) dengan Cmm1 = (¬x ∨ (¬¬x ∨ y)) ∧ (¬y ∨ (¬¬y ∨ x)) dengan DNg = 1 ∧ 1 dengan A1 = 1 dengan Idn2	B2   [dual]   (x ∧ y) ∧ (¬x ∨ ¬y) = 0
C1 (x ∨ y) ∧ (¬x ∧ ¬y) = 0 Bukti: (x ∨ y) ∧ (¬x ∧ ¬y) = (¬x ∧ ¬y) ∧ (x ∨ y) dengan Cmm2 = ((¬x ∧ ¬y) ∧ x) ∨ ((¬x ∧ ¬y) ∧ y) dengan Dst2 = (x ∧ (¬x ∧ ¬y)) ∨ (y ∧ (¬y ∧ ¬x)) dengan Cmm2 = 0 ∨ 0 dengan A2 = 0 dengan Idn1	C2   [dual]   (x ∧ y) ∨ (¬x ∨ ¬y) = 1
DMg1 ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y Bukti: dengan B1, C1, dan UNg	DMg2   [dual]   ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y
D1 (x∨(y∨z)) ∨ ¬x = 1 Bukti: (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ¬x = ¬x ∨ (x ∨ (y ∨ z)) dengan Cmm1 = ¬x ∨ (¬¬x ∨ (y ∨ z)) dengan DNg = 1 dengan A1	D2   [dual]   (x∧(y∧z)) ∧ ¬x = 0
E1 y ∧ (x∨(y∨z)) = y Bukti: y ∧ (x ∨ (y ∨ z)) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ (y ∨ z)) dengan Dst2 = (y ∧ x) ∨ y dengan Abs2 = y ∨ (y ∧ x) dengan Cmm1 = y dengan Abs1	E2   [dual]   y ∨ (x∧(y∧z)) = y
F1 (x∨(y∨z)) ∨ ¬y = 1 Bukti: (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ¬y = ¬y ∨ (x ∨ (y ∨ z)) dengan Cmm1 = (¬y ∨ (x ∨ (y ∨ z))) ∧ 1 dengan Idn2 = 1 ∧ (¬y ∨ (x ∨ (y ∨ z))) dengan Cmm2 = (y ∨ ¬y) ∧ (¬y ∨ (x ∨ (y ∨ z))) dengan Cpl1 = (¬y ∨ y) ∧ (¬y ∨ (x ∨ (y ∨ z))) dengan Cmm1 = ¬y ∨ (y ∧ (x ∨ (y ∨ z))) dengan Dst1 = ¬y ∨ y dengan E1 = y ∨ ¬y dengan Cmm1 = 1 dengan Cpl1	F2   [dual]   (x∧(y∧z)) ∧ ¬y = 0
G1 (x∨(y∨z)) ∨ ¬z = 1 Bukti: (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ¬z = (x ∨ (z ∨ y)) ∨ ¬z dengan Cmm1 = 1 dengan F1	G2   [dual]   (x∧(y∧z)) ∧ ¬z = 0
H1 ¬((x∨y)∨z) ∧ x = 0 Bukti: ¬((x ∨ y) ∨ z) ∧ x = (¬(x ∨ y) ∧ ¬z) ∧ x dengan DMg1 = ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z) ∧ x dengan DMg1 = x ∧ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z) dengan Cmm2 = (x ∧ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z)) ∨ 0 dengan Idn1 = 0 ∨ (x ∧ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z)) dengan Cmm1 = (x ∧ ¬x) ∨ (x ∧ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z)) dengan Cpl1 = x ∧ (¬x ∨ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z)) dengan Dst2 = x ∧ (¬x ∨ (¬z ∧ (¬x ∧ ¬y))) dengan Cmm2 = x ∧ ¬x dengan E2 = 0 dengan Cpl2	H2   [dual]   ¬((x∧y)∧z) ∨ x = 1
I1 ¬((x∨y)∨z) ∧ y = 0 Bukti: ¬((x ∨ y) ∨ z) ∧ y = ¬((y ∨ x) ∨ z) ∧ y dengan Cmm1 = 0 dengan H1	I2   [dual]   ¬((x∧y)∧z) ∨ y = 1
J1 ¬((x∨y)∨z) ∧ z = 0 Bukti: ¬((x ∨ y) ∨ z) ∧ z = (¬(x ∨ y) ∧ ¬z) ∧ z dengan DMg1 = z ∧ (¬(x ∨ y) ∧ ¬z) dengan Cmm2 = z ∧ ( ¬z ∧ ¬(x ∨ y)) dengan Cmm2 = 0 dengan A2	J2   [dual]   ¬((x∧y)∧z) ∨ z = 1
K1 (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ¬((x ∨ y) ∨ z) = 1 Bukti: (x∨(y∨z)) ∨ ¬((x ∨ y) ∨ z) = (x∨(y∨z)) ∨ (¬(x ∨ y) ∧ ¬z) dengan DMg1 = (x∨(y∨z)) ∨ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z) dengan DMg1 = ((x∨(y∨z)) ∨ (¬x ∧ ¬y)) ∧ ((x∨(y∨z)) ∨ ¬z) dengan Dst1 = (((x∨(y∨z)) ∨ ¬x) ∧ ((x∨(y∨z)) ∨ ¬y)) ∧ ((x∨(y∨z)) ∨ ¬z) dengan Dst1 = (1 ∧ 1) ∧ 1 dengan D1,F1,G1 = 1 dengan Idn2	K2   [dual]   (x ∧ (y ∧ z)) ∧ ¬((x ∧ y) ∧ z) = 0
L1 (x ∨ (y ∨ z)) ∧ ¬((x ∨ y) ∨ z) = 0 Bukti: (x ∨ (y ∨ z)) ∧ ¬((x ∨ y) ∨ z) = ¬((x∨y)∨z) ∧ (x ∨ (y ∨ z)) dengan Cmm2 = (¬((x∨y)∨z) ∧ x) ∨ (¬((x∨y)∨z) ∧ (y ∨ z)) dengan Dst2 = (¬((x∨y)∨z) ∧ x) ∨ ((¬((x∨y)∨z) ∧ y) ∨ (¬((x∨y)∨z) ∧ z)) dengan Dst2 = 0 ∨ (0 ∨ 0) dengan H1,I1,J1 = 0 dengan Idn1	L2   [dual]   (x ∧ (y ∧ z)) ∨ ¬((x ∧ y) ∧ z) = 1
Ass1 x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z Bukti: dengan K1, L1, UNg, DNg	Ass2   [dual]   x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
Singkatan UId Unique Identity (Indentitas unik) Idm Idempotence (Idempotensi) Bnd Boundaries (Berbatas) Abs Absorption law UNg Unique Negation (Negasi Unik) DNg Denegation unique (Denegasi unik) DMg Hukum De Morgan Ass Asosiatif

Aksioma aljabar Boolean Huntington 1904
Idn1	x ∨ 0 = x	Idn2	x ∧ 1 = x
Cmm1	x ∨ y = y ∨ x	Cmm2	x ∧ y = y ∧ x
Dst1	x ∨ (y∧z) = (x∨y) ∧ (x∨z)	Dst2	x ∧ (y∨z) = (x∧y) ∨ (x∧z)
Cpl1	x ∨ ¬x = 1	Cpl2	x ∧ ¬x = 0
Singkatan Idn Identitas Cmm Commutativity (Komutatif) Dst Distribusi Cpl Complements (Kekomplemen)

Aksiomatisasi pertama kekisi/aljabar Boolean secara umum diberikan oleh filsuf dan matematikawan Inggris Alfred North Whitehead pada tahun 1898.^[7][8] Itu termasuk di atas aksioma dan tambahan x∨1=1 dan x∧0=0. Pada tahun 1904, matematikawan Amerika Edward V. Huntington (1874–1952) memberikan aksiomatisasi yang pelit berdasarkan ∧, ∨, ¬, bahkan membuktikan hukum asosiatif (lihat kotak).^[9] Ia juga membuktikan bahwa aksioma-aksioma ini independen satu sama lain.^[10] Pada tahun 1933, Huntington menetapkan aksiomatisasi elegan berikut untuk aljabar Boolean.^[11] Ini hanya membutuhkan satu operasi biner + dan simbol fungsional uner n, untuk dibaca sebagai 'kelengkapan', yang memenuhi hukum berikut:

1. Komutatif: x + y = y + x.
2. Asosiatif: (x + y) + z = x + (y + z).
3. PERSAMAAN Huntington: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Herbert Robbins segera bertanya: Jika persamaan Huntington diganti dengan dualnya, yaitu:

4. Persamaan Robbins: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x,

apakah (1), (2), dan (4) dalam bentuk basis untuk aljabar Boolean? Menyebut (1), (2), dan (4) sebuah Aljabar Robbins, pertanyaannya kemudian menjadi: Apakah setiap aljabar Robbins merupakan aljabar Boolean? Pertanyaan ini (yang kemudian dikenal sebagai konjektur Robbins) tetap terbuka selama beberapa dekade, dan menjadi pertanyaan favorit Alfred Tarski dan murid-muridnya. Pada tahun 1996, William McCune di Laboratorium Nasional Argonne, berdasarkan pekerjaan sebelumnya oleh Larry Wos, Steve Winker, dan Bob Veroff, menjawab pertanyaan Robbins dengan tegas: Setiap aljabar Robbins adalah aljabar Boolean. Penting bagi bukti McCune adalah program penalaran otomatis EQP yang dia rancang. Untuk penyederhanaan bukti McCune, lihat Dahn (1998).

Pekerjaan lebih lanjut telah dilakukan untuk mengurangi jumlah aksioma; lihat Aksioma minimal untuk aljabar Boolean.

Struktur aljabar
Sejenis grup Grup Semigrup / Monoid Rak dan ganjal Grup semu dan gelung Grup abelian Magma Grup Lie Teori grup
Sejenis gelanggang Gelanggang Semigelanggang Gelanggang dekat Gelanggang komutatif Ranah integral Medan Gelanggang pembagian Teori gelanggang
Sejenis kekisi Kekisi Semikekisi Kekisi dikomplemenkan Urutan total Aljabar Heyting Aljabar boolean Peta kekisi Teori kekisi
Sejenis modul Modul Grup dengan operator Ruang vektor Aljabar linear
Sejenis aljabar Aljabar Asosiatif Non-asosiatif Aljabar komposisi Aljabar Lie Bertingkat Bialjabar
l b s

Menghapus persyaratan keberadaan unit dari aksioma aljabar Boolean menghasilkan "aljabar Boolean umum". Secara formal, kekisi distributif B adalah kekisi Boolean umum, jika memiliki elemen terkecil 0 dan untuk setiap elemen a dan b di B sehingga a ≤ b, apabila terdapat elemen x sehingga a ∧ x = 0 dan a ∨ x = b. Mendefinisikan a ∖ b sebagai unik x sehingga (a ∧ b) ∨ x = a dan (a ∧ b) ∧ x = 0, maka katakan bahwa struktur (B,∧,∨,∖,0) adalah "aljabar Boolean umum", sedangkan (B,∨,0) adalah Boolean umum semikekisi. Kekisi Boolean umum adalah ranah dari kekisi Boolean.

Struktur yang memenuhi semua aksioma aljabar Boolean kecuali dua aksioma distributif disebut kekisi ortokomplemenkan. Ortokomplemenkan muncul secara asli dalam logika kuantum sebagai kekisi subruang tertutup untuk ruang Hilbert yang dipisahkan.

• Davey, B.A.; Priestley, H.A. (1990). Introduction to Lattices and Order. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. 
• Cohn, Paul M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings, and Fields, Springer, hlm. 51, 70–81, ISBN 9781852335878 
• Givant, Steven; Halmos, Paul (2009), Introduction to Boolean Algebras, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-40293-2 .
• Goodstein, R. L. (2012), "Chapter 2: The self-dual system of axioms", Boolean Algebra, Courier Dover Publications, hlm. 21ff, ISBN 9780486154978 
• Huntington, Edward V. (1904). "Sets of Independent Postulates for the Algebra of Logic" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 5 (3): 288–309. doi:10.1090/s0002-9947-1904-1500675-4 . JSTOR 1986459. 
• Padmanabhan, Ranganathan; Rudeanu, Sergiu (2008), Axioms for lattices and boolean algebras, World Scientific, ISBN 978-981-283-454-6 .
• Stone, Marshall H. (1936). "The Theory of Representations for Boolean Algebra". Transactions of the American Mathematical Society. 40: 37–111. doi:10.1090/s0002-9947-1936-1501865-8 . 
• Whitehead, A.N. (1898). A Treatise on Universal Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-4297-0032-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-09-03. Diakses tanggal 2021-06-12. 

Templat:Insufficient inline citations

• Brown, Stephen; Vranesic, Zvonko (2002), Fundamentals of Digital Logic with VHDL Design (edisi ke-2nd), McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-249938-4 . See Section 2.5.
• Boudet, A.; Jouannaud, J.P.; Schmidt-Schauß, M. (1989). "Unification in Boolean Rings and Abelian Groups". Journal of Symbolic Computation. 8 (5): 449–477. doi:10.1016/s0747-7171(89)80054-9. 
• Cori, Rene; Lascar, Daniel (2000), Mathematical Logic: A Course with Exercises, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850048-3 . See Chapter 2.
• Dahn, B. I. (1998), "Robbins Algebras are Boolean: A Revision of McCune's Computer-Generated Solution of the Robbins Problem", Journal of Algebra, 208 (2): 526–532, doi:10.1006/jabr.1998.7467 .

• Halmos, Paul (1963), Lectures on Boolean Algebras, Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90094-0 .
• Halmos, Paul; Givant, Steven (1998), Logic as Algebra, Dolciani Mathematical Expositions, 21, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-327-6 .
• Huntington, E. V. (1933a), "New sets of independent postulates for the algebra of logic" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 35 (1): 274–304, doi:10.2307/1989325, JSTOR 1989325 .
• Huntington, E. V. (1933b), "Boolean algebra: A correction", Transactions of the American Mathematical Society, 35 (2): 557–558, doi:10.2307/1989783, JSTOR 1989783 
• Hsiang, Jieh (2007). "Refutational Theorem Proving Using Term Rewriting Systems". AI. 25 (3): 255–300. arXiv:cond-mat/0606434 . doi:10.1016/0004-3702(85)90074-8. 
• Mendelson, Elliott (1970), Boolean Algebra and Switching Circuits, Schaum's Outline Series in Mathematics, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-041460-0 
• Monk, J. Donald; Bonnet, R., ed. (1989), Handbook of Boolean Algebras, North-Holland, ISBN 978-0-444-87291-3 . In 3 volumes. (Vol.1:ISBN 978-0-444-70261-6, Vol.2:ISBN 978-0-444-87152-7, Vol.3:ISBN 978-0-444-87153-4)
• Sikorski, Roman (1966), Boolean Algebras, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer Verlag .
• Stoll, R. R. (1963), Set Theory and Logic, W. H. Freeman, ISBN 978-0-486-63829-4 . Reprinted by Dover Publications, 1979.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Boolean algebra", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
• McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263—276
• "Boolean Algebra" by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Boolean Algebra". MathWorld.