A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg. François Viète (1540–1603) francia matematikusról nevezték el őket, aki először alkalmazott betűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.
Legyen
egy n-edfokú polinom és
a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggések:
A bizonyítása azon múlik, hogy a
polinom felírható
gyöktényezős alakban.
Példák
Ha egy másodfokú
polinom gyökei
, akkor felírható
gyöktényezős alakban, így a Viète-formulák:
Ugyanezt megkaphatjuk a másodfokú egyenlet
megoldóképletéből is.
Harmadfokú
polinom esetén gyöktényezős alakja
, ahol
a polinom gyökei és a Viète-formulák:
Általánosítása
A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.
Források
- Weisstein, Eric W.: Viète-formulák (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Többváltozós polinomok[halott link]
| Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap