Vektormező
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/220px-Vector_field.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vektorfeld.png/220px-Vektorfeld.png)
A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.
Az euklideszi téren
Az halmazon értelmezett vektormező egy olyan leképezés, ami minden ponthoz egy vektort rendel, vagyis . Ha k-szor differenciálható, akkor a vektormező -vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.
Példák
- Középpontos vektormezők: Legyen intervallum, ami tartalmazza a nullát, és gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:
- ha .
- Az téren a gravitációs mező középpontos vektormező.
- További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy vektorpotenciáljuk, ahol is . Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
- Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha a skalármező, akkor gradiense
- .
Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A vektormező skalárpotenciálja . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.
Felbontási tétel
Egy kétszer folytonosan differenciálható vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:
Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának,[1] ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt és az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.
Sokaságokon
Jelöljön differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a TM érintősereg sima metszetei.
Pontosabban, ha a vektormező -leképezés, akkor ahol . Minden -hez egy vektort rendel. A leképezés a természetes vetülete, ahol .
Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis és .
A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjához egy skalárt rendelnek.
Alkalmazások
A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.
Jegyzetek
- ↑ U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 , part II
Források
- Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
- R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.
- John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.
Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap