Tetráció

A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hiperművelet a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják. Egyes források szuperhatványfüggvényeken olyan függvényeket értenek általában, amelyek a hatványoknál gyorsabban, de az exponenciálisan növő függvényeknél lassabban nőnek.

A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon:

• 0. szukcesszió:

  ${\displaystyle a'=a+1}$

• 1. összeadás:

  ${\displaystyle a+b\,}$

• 2. szorzás:

  ${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+\cdots +a} _{\textstyle {b}}}$

• 3. hatványozás:

  ${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{\textstyle {b}}}$

• 4. tetráció:

  ${\displaystyle {}^{b}a=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{\textstyle {b}}}$

ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg.

A szorzás (${\displaystyle a\times b}$) másképpen „b darab a összeadva” és következésképpen a hatványozás (${\displaystyle a^{b}}$) pedig „b darab a összeszorozva”. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (${\displaystyle a{\mathord {\uparrow }}{\mathord {\uparrow }}b}$) így „b darab a hatványozása”.

Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legbelső szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen:

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65536\,\!}$

${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}\,\!}$ nem ugyanaz, mint ${\displaystyle \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=256\,\!}$

(Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)

A fenti első eset (a tetráció) általánosításához új jelölésre van szükség (lásd lentebb), viszont a második esetet írhatjuk: ${\displaystyle \left(\left(2^{2}\right)^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{2^{3}}\,\!}$ -nak is.

Így az általános forma még mindig hagyományos hatványjelölést használ.

A jelölések, amikkel a tetráció leírható (némelyik magasabb szintű iterációt is megenged), például a következők:

• Standard jelölés: ${\displaystyle {}^{b}a}$; először Maurer használta; Rudy Rucker A Végtelen és az elme (Infinity and the Mind) című könyve ezt a jelölést népszerűsítette.
• Knuth-nyilas jelölés: ${\displaystyle a~{\mathord {\uparrow }}{\mathord {\uparrow }}~b}$; itt több nyilat is alkalmazhatunk vagy indexelt nyilat
• Conway-nyílláncolat: ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow 2}$; a kettes szám növelésével kiterjeszthető (ez azonos a fenti kiterjesztésekkel), vagy erőteljesebben a láncolat meghosszabbításával.
• hyper4 jelölés: ${\displaystyle a^{(4)}b=\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)}$; a 4-es szám növelésével terjeszthető ki, az adja a hiperoperátorok családját.

Az Ackermann-függvényt így jelölhetjük: ${\displaystyle 2~{\mathord {\uparrow }}{\mathord {\uparrow }}~b=\operatorname {A} (4,b-3)+3}$, azaz ${\displaystyle \operatorname {A} (4,n)=2~{\mathord {\uparrow }}{\mathord {\uparrow }}~(n+3)-3}$.

A hatványjel (^) is ugyanígy használható, így a tetráció ASCII jelölése ^^, például a^^b.

A tetrációra igazak a következők:

• ${\displaystyle a~{\mathord {\uparrow }}{\mathord {\uparrow }}~(b+1)=a^{\left(a~{\mathord {\uparrow }}{\mathord {\uparrow }}~b\right)}}$,
• monoton növekszik,
• folytonos.

(A tizedesvesszőt tartalmazó értékek közelítőek).

n = n↑↑1	n↑↑2	n↑↑3	n↑↑4
1	1	1	1
2	4	16	65536
3	27	7,63×1012	${\displaystyle 10^{3,6410\times 10^{12}}}$
4	256	1,34×10154	${\displaystyle 10^{8,07\times 10^{153}}}$
5	3125	1,91×102184	${\displaystyle 10^{1,34\times 10^{2184}}}$
6	46 656	2,70×1036 305	${\displaystyle 10^{2,07\times 10^{36305}}}$
7	823 543	3,76×10695 974	${\displaystyle 10^{3,18\times 10^{695974}}}$
8	16 777 216	6,01×1015 151 335	${\displaystyle 10^{5,43\times 10^{15151335}}}$
9	387 420 489	4,28×10369 693 099	${\displaystyle 10^{4,09\times 10^{369693009}}}$
10	10 000 000 000	1010 000 000 000	${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}}$

A függvény gyorsabban növekszik a szuperhatványfüggvényeknél is, ha például ${\displaystyle a}$ = 10:

• ${\displaystyle \operatorname {f} (-1)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {f} (0)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {f} (1)=10}$
• ${\displaystyle \operatorname {f} (2)=10^{10}}$
• ${\displaystyle \operatorname {f} (2,3)=10^{100}}$ (az egy googol)
• ${\displaystyle \,\!\operatorname {f} (3)=10^{10^{10}}}$
• ${\displaystyle \,\!\operatorname {f} (3,3)=10^{10^{100}}}$ (ez egy googolplex)
• A függvény ${\displaystyle 10^{10^{x}}}$ -t ${\displaystyle x=2{,}376}$ -nál lépi át: ${\displaystyle \operatorname {f} (x)\approx 4,83\times 10^{237}}$

A ${\displaystyle n\uparrow \uparrow k=\log _{n}\left(n\uparrow \uparrow (k+1)\right)}$ kapcsolat felhasználásával (ami következik a tetráció definíciójából), kikövetkeztethetjük vagy definiálhatjuk ${\displaystyle n\uparrow \uparrow k}$ értékeit, ha ${\displaystyle k\in \{-1,0,1\}}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}n\uparrow \uparrow 1&=&\log _{n}\left(n\uparrow \uparrow 2\right)&=&\log _{n}\left(n^{n}\right)&=&n\log _{n}n&=&n\\n\uparrow \uparrow 0&=&\log _{n}\left(n\uparrow \uparrow 1\right)&=&\log _{n}n&&&=&1\\n\uparrow \uparrow -1&=&\log _{n}\left(n\uparrow \uparrow 0\right)&=&\log _{n}1&&&=&0\end{matrix}}}$

Ez megerősíti az intuitív definíciót, miszerint ${\displaystyle n\uparrow \uparrow 1}$ egyszerűen ${\displaystyle n}$. Ilyen minta alapján azonban további iterációval nem lehet további értékeket kikövetkeztetni, mivel ${\displaystyle \log _{n}0}$ nincs értelmezve.

Hasonlóan, mivel ${\displaystyle \log _{1}1}$ sem értelmezett (mert ${\displaystyle \log _{1}1={\begin{matrix}{\frac {\log _{n}1}{\log _{n}1}}={\frac {0}{0}}\end{matrix}}}$),a fenti következtetés nem működik, ha ${\displaystyle n}$ = 1. Ezért ${\displaystyle 1\uparrow \uparrow {-1}}$ nek is értelmetlennek kell maradnia. (A ${\displaystyle 1\uparrow \uparrow {0}}$ kifejezés nyugodtan maradhat 1.)

Néha a ${\displaystyle 0^{0}}$ t is értelmetlennek veszik. Ebben az esetben ${\displaystyle 0\uparrow \uparrow {k}}$ értékeit sem definiálhatjuk közvetlenül. Azonban ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow 0}n\uparrow \uparrow {k}}$ meghatározott és létezik:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow 0}n\uparrow \uparrow k={\begin{cases}1,&k=2m\\0,&k=2m+1\end{cases}}}$

Ez a határérték marad negatív ${\displaystyle n}$ -eknél is. ${\displaystyle 0\uparrow \uparrow {k}}$ eszerint határozható meg, és ez összefér azzal, ha ${\displaystyle 0^{0}=1}$ (mivel a 0 páros).

A tetráció a -1-nél kisebb kitevőkre nem terjeszthető ki rekurzióval, mivel

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}{}^{-1}a=\log _{a}0=-\infty }$

Jelenleg nincs általánosan elfogadott módszer a nem egész valós vagy kitevőkre való kiterjesztésre. A továbbiakban néhány megközelítést mutatunk be.

Általában egy szuperexponenciális ${\displaystyle f(x)={}^{x}a\,}$ függvényt keresünk, ahol x valós, és ${\displaystyle x>-2}$, továbbá

• ${\displaystyle {}^{(-1)}a=0\,}$,
• ${\displaystyle {}^{0}a=1\,}$,
• ${\displaystyle {}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}\,}$ minden ${\displaystyle x>-1}$-re.

Ezekhez még egy követelményt hozzá szoktak tenni:

• ${\displaystyle {}^{x}a}$ mindkét változójában folytonos, ha ${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle {}^{x}a}$ differenciálható x-ben egyszer, kétszer, vagy végtelenszer
• ${\displaystyle {}^{x}a}$ reguláris, és

${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$ minden ${\displaystyle x>0}$-ra.

A negyedik követelmény megközelítésenként változik. A két fő megközelítés egyik a regularitást követeli meg, a másik a differenciálhatóságot. A két megközelítés annyira különböző módszereket használ, hogy azt sem tudjuk, hogy az eredmények megegyeznek-e.

Ha valahogy definiáljuk az ${\displaystyle {}^{x}a\,}$ függvényt egy 1 hosszúságú intervallumon, akkor a rekurzív összefüggés szerint minden ${\displaystyle x>-2}$ számra definiálva lesz.

Az alábbi approximáció megfelel a folytonossági követelménynek, és approximál egy differenciálható megoldást:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}(^{x+1}a)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

így:

Approximáció	Tartomány
${\displaystyle {}^{x}a\approx x+1\,}$	${\displaystyle -1<x<0}$
${\displaystyle {}^{x}a\approx a^{x}\,}$	${\displaystyle 0<x<1}$
${\displaystyle {}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}\,}$	${\displaystyle 1<x<2}$

és így tovább. Megjegyzendő, hogy csak szakasznonként differenciálható, mivel x egész értékeinél a derivált megszorzódik ${\displaystyle \ln {a}}$-val.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}^{{\frac {1}{2}}\pi }e&\approx 5.868...,\\{}^{-4.3}0.5&\approx 4.03335...\end{aligned}}}$

Hooshmand cikkének^[1] fő tétele: legyen ${\displaystyle 0<a\neq 1}$; ha ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ folytonos, és megfelel ezeknek a feltételeknek:

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$,
• ${\displaystyle f}$ differenciálható ${\displaystyle (-1,0)}$-ban,
• ${\displaystyle f'}$ nemcsökkenő vagy nemnövekvő ${\displaystyle (-1,0)}$-ban,
• ${\displaystyle f'(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-}){\text{ vagy }}f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-})}$.

akkor ${\displaystyle f}$-re teljesül, hogy:

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{x})=\exp _{a}^{[x+1]}(x)\quad {\text{ minden }}\;\;x>-2{\text{-re }}}$,

ahol ${\displaystyle (x)=x-[x]}$ x törtrésze, és ${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ az ${\displaystyle \exp _{a}}$ ${\displaystyle [x]}$-iteráltja.

A bizonyítás azon alapul, hogy a 2.-4. feltételekből következik, hogy a függvény lineáris a [−1, 0] zárt intervallumon.

Az ${\displaystyle {}^{x}e}$ természetes alapú tetráció lineáris approximációja folytonosan differenciálható, de második deriváltja nem létezik az egész helyeken. Hooshmand bizonyított egy másik egyértelműségi tételt is, ami kimondja, hogy:

Ha ${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ folytonos függvény, ami teljesíti, hogy:

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{ minden }}\;\;x>-1{\text{-re}}\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$ konvex ${\displaystyle (-1,0){\text{-ben}},}$
• ${\displaystyle f'(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).}$

akkor ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$, ahol ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$ Hooshmand jelölése a természetes alapú tetrációfüggvény lineáris közelítésére.

Ez a tétel az előbbihez hasonlóan bizonyítható; a rekurzió biztosítja, hogy ${\displaystyle f'(-1^{+})=f'(0^{+}),}$ és a konvexség miatt ${\displaystyle f}$ lineáris (−1, 0)-n.

Így a természetes alapú tetráció lineáris approximációja az ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ egyértelmű megoldása, és ${\displaystyle f(0)=1}$, ami konvex ${\displaystyle (-1,+\infty )}$-ben. Az összes többi differenciálható megoldásnak inflexiós pontja van (−1, 0)-ban.

Egy kvadratikus approximáció:

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

ami differenciálható x-ben minden ${\displaystyle x>0}$-ra, de csak egyszer. Ha ${\displaystyle a=e}$, akkor ez megegyezik a lineáris approximációval.

Mivel a toronyhatvány fentről lefelé számítandó ki, ezért nem teljesül a hatványozáshoz hasonló összefüggés:

${\displaystyle {}^{n}({}^{1/n}a)=\underbrace {({}^{1/n}a)^{({}^{1/n}a)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{({}^{1/n}a)}}}}}} _{n}\neq a}$.

Egy köbös approximációt és további approximációs eljárásokat találni ebben a hivatkozásban:^[2]

Mivel a komplex számokat is lehet hatványozni, a tetráció alkalmazható a ${\displaystyle a+bi}$ formájú számokra, ahol ${\displaystyle i}$   ‒1 négyzetgyöke. Például ha ${\displaystyle n=i}$, akkor ${\displaystyle n\uparrow \uparrow k}$ esetén a tetrációt úgy érjük el, ha alkalmazzuk a természetes logaritmussal való felírást és észrevesszük a kapcsolatot:

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{i\pi \over 2}(a+bi)}=e^{-{b\pi \over 2}}\left(\cos {a\pi \over 2}+i\sin {a\pi \over 2}\right)}$

Ebből rekurzívan definiálhatjuk ${\displaystyle i\uparrow \uparrow (k+1)=a'+b'i}$ -t, bármilyen ${\displaystyle i\uparrow \uparrow k=a+bi}$ esetén:

${\displaystyle a'=e^{-{b\pi \over 2}}\cos {a\pi \over 2}}$

${\displaystyle b'=e^{-{b\pi \over 2}}\sin {a\pi \over 2}}$

Innen kaphatjuk a következő közelítő értékeket, ahol ${\displaystyle i\uparrow n}$ a rendes hatványozás (tehát ${\displaystyle i^{n}}$).

• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 1=i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 2=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 1\right)\approx 0,2079}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 3=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 2\right)\approx 0,9472+0,3208i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 4=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 3\right)\approx 0,0501+0,6021i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 5=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 4\right)\approx 0,3872+0,0305i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 6=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 5\right)\approx 0,7823+0,5446i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 7=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 6\right)\approx 0,1426+0,4005i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 8=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 7\right)\approx 0,5198+0,1184i}$
• ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 9=i\uparrow \left(i\uparrow \uparrow 8\right)\approx 0,5686+0,6051i}$

A kapcsolat megfejtésével a várt ${\displaystyle i\uparrow \uparrow 0=1}$ -t és ${\displaystyle i\uparrow \uparrow -1=0}$ -t kapjuk, végtelen eredménnyel a képzetes tengelyen. A komplex számsíkon ábrázolva a sorozat spirálisan tart a ${\displaystyle 0,4383+0,3606i}$ határértékhez, amit úgy értelmezhetünk, mint azt a helyet, ahol ${\displaystyle k}$ végtelen.

Az ilyen tetrációs sorozatokat már Euler ideje óta tanulmányozzák, de kaotikus viselkedésük miatt nehezen érthetők. A legtöbb publikált kutatás a hatványtorony-függvény konvergensségével foglalkozik. A mai kutatás nagy segítségei a gyors számítógépek fraktál- és matematikai szoftverei. A tetrációról való tudásunk nagy része a komplex dinamika általános eredményeiből és az exponenciális leképezés kutatásából származik.

Egy sejtés szerint^[3] az F(z+1)=exp(F(z)) egyenletnek van egy egyértelmű F függvény megoldása, amire még az is teljesül, hogy F(0)=1, és F(z) megközelíti a logaritmus fixpontjait, ha helye tart ±i∞-hez, és F holomorf a teljes komplex síkon, kivéve a z≤−2 félegyenest. Ennek a függvénynek dupla pontosságú komplex (double precision) közelítése elérhető online.^[4] A valós tengelyen szingularitásai vannak a ${\displaystyle z=-2,-3,-4,\ldots }$ pontokban.

A holomorfia kikötése biztosítja az egyértelműséget, mivel sok ${\displaystyle S}$ függvény konstruálható, amire:

${\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}$

ahol az ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ valós sorozatok elég gyorsan csökkennek ahhoz, hogy biztosítsák a konvergenciát legalább ${\displaystyle \Im (z)}$ kis értékeire.

Ez az ${\displaystyle S}$ függvény a tetrációhoz hasonlóan viselkedik: S(z+1)=exp(S(z)), S(0)=1, és jól választott ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$ valós sorozatok esetén analitikus lesz a valós tengely pozitív félegyenesének környezetében. Azonban, ha {α} vagy {β} nem az azonosan nulla sorozat, az ${\displaystyle S}$ függvénynek még több szingularitása és szakadási egyenese keletkezik, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvény abszolút értéke exponenciálisan nő a valós tengelytől távolodva. Minél kisebbek az {α} és a {β} együtthatók, annál távolabb lesznek ezek a szingularitások a valós tengelytől. A valós analitikus tetráció nem egyértelmű, ezért kell a komplex síkra kiterjeszteni.

• ${\displaystyle ^{0}\pi }$ és ${\displaystyle ^{0}e}$ is 1, tehát ${\displaystyle n=0}$ a megoldás.
• Jelenleg (2016) még az sem ismert, hogy ⁿq lehet-e egész bizonyos pozitív egész n-re és alkalmasan választott q pozitív nem egész racionális számra.^[5] Még azt sem tudjuk, hogy ⁴x = 2 -ben az x pozitív szuperlogaritmus racionális szám-e.

Mivel a tetráció művelete nem kommutatív, ezért két inverz művelete van. Az alap keresésére a szupergyök- vagy hipergyökfüggvény szolgál, a kitevőt szuper- vagy hiperlogaritmus adja meg.

A szupergyök ismert kitevő esetén az alapot keresi, azaz ha ${\displaystyle ^{n}y=x}$, akkor y az x egy n-edik szupergyöke.

Példák:

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65536}$

vagyis 65 536 negyedik szupergyöke 2, és

${\displaystyle ^{3}3=3^{3^{3}}=7625597484987}$

így 3 a 7 625 597 484 987 harmadik szupergyöke, vagy szuperköbgyöke.

A második szupergyök, négyzetszupergyök, vagy szupernégyzetgyök jelölései ${\displaystyle \operatorname {ssrt} (x)}$ és ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$. Az ${\displaystyle {}^{2}x=x^{x}}$ inverze, és reprezentálható a Lambert-féle W-függvénnyel:^[6]

${\displaystyle \operatorname {ssrt} (x)=e^{W(\ln(x))}={\frac {\ln(x)}{W(\ln(x))}}}$

A szupernégyzetgyökben a gyökvonás és a logaritmus szerepe szimmetrikus; a következő egyenlet csak akkor igaz, ha ${\displaystyle y=\operatorname {ssrt} (x)}$:

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

A négyzetgyökhöz hasonlóan a szupernégyzetgyök sem egyértelmű. Meghatározása nem olyan egyszerű, mint a négyzetgyöké. Általában, ha ${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$, akkor x-nek két szupernégyzetgyöke van 0 és 1 között; ha ${\displaystyle x>1}$, akkor szupernégyzetgyöke egyértelmű, és szintén nagyobb egynél. Hogyha pedig ${\displaystyle e^{-1/e}}$, akkor nincs valós hipernégyzetgyöke, de a fenti képlet megszámlálható végtelen szupernégyzetgyököt ad, ha x különbözik 1-től.^[6] A függvényt használták adatklaszterek méretének kiszámítására.^[7]

Az n > 2 egészekre ⁿx értelmes és növekvő függvény minden x ≥ 1-re, ⁿ1 = 1, így x-nek létezik ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$ n-edik szupergyöke.

Azonban a fenti lineáris approximáció szerint ${\displaystyle {}^{y}x=y+1}$, ha −1 < y ≤ 0, így ebben a tartományban az ${\displaystyle {}^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$ megoldhatatlan.

A szuperköbgyök az ${\displaystyle x=y^{y^{y}}}$ kifejezésben keresi az y-t. Jelölése: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$. A negyedik szupergyök ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$, és általában, az n-edik szupergyök ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$. Ahogy a szupernégyzetgyöknél láttuk, ez nem biztos, hogy egyértelmű. Például, ha n páratlan, akkor egy, ha n páros, akkor két valós szupergyök lehet.

Mivel bizonyos számok esetén a végtelen hatványtornyoknak is véges értéket lehet tulajdonítani, ezért a megfelelő 1/e ≤ x ≤ e értékek esetén végtelenedik szupergyök is kereshető. Jegyezzük meg, hogy ${\displaystyle x={{}^{\infty }y}}$-ból következik, hogy ${\displaystyle x=y^{x}}$, így ${\displaystyle y=x^{1/x}}$. Emiatt, ha létezik, akkor ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$, így ez elemi függvény. Például ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$.

A Gelfond–Schneider-tételből adódik, hogy egy pozitív egész szupernégyzetgyöke vagy egész, vagy transzcendens, és szuperköbgyöke vagy egész, vagy irracionális.^[5] Nyitott kérdés azonban, hogy az irracionális transzcendensek-e utóbbi esetben.

A ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}}$ minden valós számra, így a negatívakra is értelmezett, ahol a > 1.

A ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}}$ függvény eleget tesz a következőknek:

${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}a^{b}=1+\operatorname {slog} _{a}b}$

${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}b=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}b}$

${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}b>-2}$

Példák:

• ${\displaystyle \operatorname {slog} _{10}-3=-1+\operatorname {slog} _{10}0.001=-1+-0.999=-1.999}$
• ${\displaystyle \operatorname {slog} _{10}3=\log _{10}3=.477}$
• ${\displaystyle \operatorname {slog} _{10}10^{6\times 10^{23}}=1+\operatorname {slog} _{10}6\times 10^{23}=2+\operatorname {slog} _{10}23.778=3+\operatorname {slog} _{10}1.376=3+\log _{10}1.376=3.139}$

A ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{...}}}}}}}$ sor a 2-höz tart, így egyenlőnek tekinthetjük azzal. A 2-höz tartás úgy látható be, ha kiértékelünk egy véges tornyot:

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.41}}}}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}={\sqrt {2}}^{1.89}=1.93}$

Általában az ${\displaystyle x^{x^{x^{...}}}}$ végtelen hatványtorony ${\displaystyle e^{-e}<x<e^{1/e}}$ esetén konvergens. Tetszőleges valós ${\displaystyle r}$ -re, ha ${\displaystyle 0<r<e}$, legyen ${\displaystyle x=r^{1/r}}$; ekkor a határérték ${\displaystyle r}$. Ha ${\displaystyle x>e^{1/e}}$, akkor nincs konvergencia (${\displaystyle r^{1/r}}$ maximuma ${\displaystyle e^{1/e}}$).

Ezt komplex számokra is kiterjeszthetjük a következő definícióval:

${\displaystyle z^{z^{z^{...}}}=-{\frac {\operatorname {W} (-\ln {z})}{\ln {z}}}}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {W} (z)}$ Lambert W-függvényét jelöli.

• Ackermann-függvény

• Daniel Geisler, Tetration.net
• Daniel Geisler, Tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (dátum nélkül, 2006-os vagy régebbi) (A következő írás egyszerűbb, érthetőbb összefoglalása)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (dátum nélkül, 2006-os vagy régebbi)
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (Kötetlen hangvételű cikk a tetráció kiterjesztéséről a valós számokra)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Kísérlet a valós számokra való kiterjesztésre)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Hivatkozások a tetráció kutatására, sok információval a W függvényről, Riemann-felszínről és analitikai eredményekről.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Archiválva 2010. január 17-i dátummal a Wayback Machine-ben.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (A sci.math-on feltett kérdések tárgyalása)
• Andrew Robbins, Home of Tetration (Egy végtelen pontosságú kiterjesztés a valós számokra)
• R. Knobel "Exponentials Reiterated." Amer. Math. Monthly 88, (1981), p. 235-252.
• Hans Maurer "Über die Funktion ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50.
• Reuben Louis Goodstein "Transfinite ordinals in recursive number theory." Journal of Symbolic Logic 12, (1947).

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tetration című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.