Szakaszfelező merőleges

Egy ${\displaystyle a}$ szakasz szakaszfelező merőlegese egy adott síkban egy olyan ${\displaystyle b}$ egyenes, amelynek minden pontja az ${\displaystyle a}$ szakasz ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ végpontjaitól egyenlő távolságra van. ${\displaystyle b}$ merőleges ${\displaystyle a}$-ra, és áthalad annak felezőpontján. Térbeli megfelelője a szakaszfelező sík.

Más megfogalmazásban: két pontot összekötő szakasz szakaszfelező merőlegese a két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (mértani helye) a síkban.^[1]

Ekvivalensen, a mindkét ponton átmenő körök középpontjai alkotják a szakaszfelező merőlegest. A szerkesztés ezt a tulajdonságot használja fel, mivel a két pontból ugyanazzal a sugárral húz kört, és összeköti a keletkezett metszéspontokat. Ahhoz, hogy a metszéspontok létezzenek, kell, hogy a sugarak szigorúan nagyobbak legyenek, mint a szakasz fele.

Adva legyen a szakasz két végpontjával a derékszögű Descartes-koordináta-rendszerben. Jelölje ezeket ${\displaystyle A(x_{A}|y_{A})}$ és ${\displaystyle B(x_{B}|y_{B})}$! Ha ${\displaystyle y_{A}\neq y_{B}}$, akkor a szakaszfelező merőleges egyenlete:

${\displaystyle y=-{\frac {x_{A}-x_{B}}{y_{A}-y_{B}}}x+{\frac {x_{A}^{2}-x_{B}^{2}+y_{A}^{2}-y_{B}^{2}}{2\cdot (y_{A}-y_{B})}}}$

Ha ${\displaystyle y_{A}=y_{B}}$, akkor az egyenlet: ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(x_{A}+x_{B})}$

A háromszög oldalfelező merőlegesei

A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaiba állított merőleges egyenesek. Az oldalfelező merőlegesek pontjai egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.

Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás: Legyen az ${\displaystyle ABC}$ háromszög ${\displaystyle AB}$ oldalának felezőmerőlegese ${\displaystyle e}$, ennek minden pontja egyenlő távolságra van ${\displaystyle A}$-tól és ${\displaystyle B}$-től is. A ${\displaystyle BC}$ oldal felezőmerőlegese pedig legyen ${\displaystyle f}$, aminek minden pontja egyenlő távolságra van ${\displaystyle B}$-től és ${\displaystyle C}$-től. ${\displaystyle AB}$ és ${\displaystyle BC}$ oldal metszik egymást, így a felezőmerőlegeseik is, legyen a metszéspont ${\displaystyle M}$, ekkor ${\displaystyle M}$ azonos távolságra van ${\displaystyle A}$-tól, ${\displaystyle B}$-től és ${\displaystyle C}$-től, vagyis ${\displaystyle M}$ rajta van ${\displaystyle AC}$ oldal felezőmerőlegesén is.

Ez a pont éppen a háromszög köréírt körének középpontja, mivel minden csúcstól egyenlő távolságra van. Hegyesszögű háromszög esetén ez a háromszög belsejében van. Derékszögű háromszögben az átfogó középpontja, és egybeesik az átfogó Thalész-körével. Tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül található.

Egyenlő szárú háromszögben az alap felezőmerőlegese felezi a szárak által bezárt szöget.

A koordinátageometriában

Az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesét a koordinátageometriában így számíthatjuk síkban és térben:

Vezessük be az ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {AB}}}$ jelölést, illetve legyen ${\displaystyle M}$ támaszpont, melynek helyvektora ${\displaystyle {\vec {m}}}$. Ekkor

${\displaystyle {\vec {n}}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {m}}\right)=0}$

a szakaszfelező merőleges egyenlete.

Jegyzetek

Források

• Rolf Baumann. Geometrie mit Übungen und Lösungen. München: Mentor (2002) 
• Cornelia Niederdrenk-Felgner. Lambacher-Schweizer Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden Württemberg). Stuttgart: Klett (1994) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mittelsenkrechte című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.