Paraboloid koordináta-rendszer

A paraboloid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, ami a parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosítása a ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ koordinátákkal. Koordinátafelületei elliptikus paraboloidok. Különbözik a parabolikus hengerkoordináta-rendszertől és a forgásparaboloid koordináta-rendszertől, melyek szintén a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer térbeli általánosításai. Az előbbi koordinátafelületei parabolikus hengerek, míg a másodiké forgásparaboloidok. Szemben a másik két koordináta-rendszertől, nem kapható meg a kétdimenziós parabolikus koordináta-rendszer vetítésével vagy forgatásával.

Az ${\displaystyle (x,y,z)}$ Descartes-koordináták a következő egyenletekkel kaphatók meg a ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ koordinátákból:^[1]

${\displaystyle x^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {4}{b-c}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}$

${\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -b-c}$

ahol

${\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}$

Következik, hogy a konstans ${\displaystyle \mu }$-jű felületek lefelé nyitott elliptikus paraboloidok:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )}$

a konstans ${\displaystyle \nu }$-höz tartozó koordinátafelületek felfelé nyitott elliptikus paraboloidok:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}$

a konstans ${\displaystyle \lambda }$-hoz tartozó felületek hiperbolikus paraboloidok:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}$

A ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ paraboloid koordináták skálázási tényezői:^[2]

${\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$

így az infinitezimális térfogatelem

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

A differenciáloperátorok kifejezhetők a ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe. Például a gradiens:

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$

A paraboloid koordináta-rendszer hasznos bizonyos differenciálegyenletek megoldásához. Például a Laplace-egyenlet és a Helmholtz-egyenlet szeparábilis a paraboloid koordinátákban. Így a koordináta-rendszer használható paraboloid szimmetriájú rendszerekben, például amikor a peremfeltételek paraboloidszeleten vannak megadva.

A Helmholtz-egyenlet ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$. Elvégezve a ${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$ helyettesítést, a leválasztott egyenletek: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \alpha _{2}}$ és ${\displaystyle \alpha _{3}}$ szeparációs konstansok. Hasonlóan, a Laplace-egyenlet megkapható a ${\displaystyle k=0}$ helyettesítéssel a fentiekbe.

A leválasztott egyenletek mindegyike a Baer-egyenlet alakjára hozható. Azonban az egyenletek közvetlen megoldása nehézkes, mivel az ${\displaystyle \alpha _{2}}$ és ${\displaystyle \alpha _{3}}$ konstansok mindegyike megjelenik minden egyenletben.

A fenti megközelítéssel a paraboloid koordináták használhatók egy paraboloid alakú vezető elektromos mezőjének megoldásához.^[4]

• Separable Boundary-Value Problems in Physics. Wiley-VCH (2011). ISBN 978-3-527-41020-0 
• Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 664. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 184–185. o. (1956) 
• Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 180. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 119–120. o. (1970) 
• Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 98. o. (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 44–48 (Table 1.11). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 
• MathWorld

Ez a szócikk részben vagy egészben a Paraboloidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.