Maximum és minimum

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A matematikában egy rendezett halmaz maximumán, illetve minimumán legnagyobb, illetve legkisebb elemét értjük. Előfordulhat, hogy nincs minimum vagy maximum. Ha egy halmaz minden nemüres részhalmazának van maximuma és minimuma, akkor a halmaz jólrendezett. A maximum és a minimum rövidítései rendre max és min. További jelölései 1 és 0, illetve ${\displaystyle \top }$ és ${\displaystyle \bot }$.

Ha ${\displaystyle ({\mathfrak {S}},\leq )}$ lineárisan rendezett halmaz, akkor ${\displaystyle \max {\mathfrak {S}}\in {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ halmaz maximuma ${\displaystyle \leq }$ szerint, amennyiben ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {S}}}$ elemre ${\displaystyle x\leq \max {\mathfrak {S}}}$, és ${\displaystyle \min {\mathfrak {S}}\in {\mathfrak {S}}\,\,{\mathfrak {S}}}$ halmaz minimuma ${\displaystyle \leq }$ szerint, amennyiben ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {S}}}$ elemre ${\displaystyle \min {\mathfrak {S}}\leq x}$.

Bármely lineárisan rendezett halmaznak legfeljebb egy maximuma és egy minimuma van.

Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ és ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\,{\mathfrak {S}}}$ két maximuma. Ekkor ${\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {S}}}$ elemre ${\displaystyle x\leq {\mathfrak {m}}}$, és ${\displaystyle x\leq {\mathfrak {n}}}$, következésképp ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}}$, és ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\leq {\mathfrak {m}}}$, ahonnan következik, hogy ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}}$. Ugyanígy látható be a minimum unicitása.

Kvázirendezés esetén előfordulhat, hogy több minimum, illetve maximum van, melyek asszociáltak, mivel teljesül, hogy ${\displaystyle x\leq y\leq x}$. Mivel itt a rendezési relációnak nem kell antiszimmetrikusnak lennie, azért nem lehet egyenlőségre következtetni.

A maximális, illetve minimális elem csak teljes rendezés esetén ekvivalens a maximummal és a minimummal. Erre példa az ${\displaystyle \{2^{i}\mid i\in \mathbb {N} \}\cup \{3\}}$ az oszthatósági reláció szerint rendezve. Itt 3 az egyetlen maximális elem, de nem maximum.

Nem minden halmaznak létezik maximuma, és minimuma. Például a természetes számoknak nincs maximuma az arkhimédeszi axióma szerint, az egészeknek se maximuma, se minimuma, a nem pozitív egészeknek pedig minimuma nincs. Korlátos halmazok is léteznek, amiknek nincs maximuma, például a ${\displaystyle \{{\frac {1}{n}}\,,2-{\frac {1}{n}}\,:\,n\in \mathbb {N} \}}$.

Minden véges nemüres láncnak van minimuma és maximuma.

Ha egy kvázirendezett halmazban van két nem asszociált maximális elem, akkor a halmaznak nincs maximuma. Ha egy kvázirendezett halmazban van két nem asszociált minimális elem, akkor a halmaznak nincs minimuma.

Tetszőleges nem üres, véges halmaznak van maximuma és minimuma. Tegyük fel, hogy ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ egy nem üres, véges halmaz, aminek nincs maximuma. Legyen ${\displaystyle x_{1}\,\,{\mathfrak {F}}}$ egy eleme; ${\displaystyle \{x_{1}\}\,}$ maximuma nyilván ${\displaystyle x_{1}\,}$. Tegyük fel, hogy adott ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-nek egy ${\displaystyle n\,}$ elemű ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ részhalmaza, aminek ${\displaystyle x_{n}\,}$ a maximuma. Ekkor, mivel ${\displaystyle x_{n}\,}$ nem maximuma, létezik ${\displaystyle x_{n+1}\in {\mathfrak {F}}}$, hogy ${\displaystyle x_{n+1}\leq x_{n}}$. ${\displaystyle x_{n+1}\,}$ nyilván nem eleme ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-nek, így ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\cup \{x_{n+1}\}}$ ${\displaystyle \,n+1}$ elemű halmaz, aminek maximuma ${\displaystyle \,x_{n+1}}$. A teljes indukció tételét alkalmazva így tetszőleges nagy véges részhalmazát konstruáltuk meg ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-nek, ami lehetetlen. Így léteznie kell ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ maximumának. Minimumra ugyanígy.

A valós számok tetszőleges korlátos és zárt részhalmazának van maximuma és minimuma.

Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset \mathbb {R} }$ korlátos és zárt halmaz, és legyen ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\,\,{\mathfrak {F}}}$ legkisebb felső korlátja, ami létezik ${\displaystyle \mathbb {R} }$ teljes rendezettsége és ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$. Tegyük fel, ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\notin {\mathfrak {F}}}$. Ekkor ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\in \mathbb {R} \backslash {\mathfrak {S}}}$, ami ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ zártsága miatt nyílt halmaz, így létezik olyan ${\displaystyle \varepsilon >0}$, hogy ${\displaystyle \forall \delta <\varepsilon \,:{\mathfrak {s}}-\delta \in \mathbb {R} \backslash {\mathfrak {S}}}$, így ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ nem legkisebb felső korlát. Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\,}$ legkisebb felső korlátja eleme ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-nek, amiből adódik a maximum létezése. A minimum létezését hasonlóan láthatjuk be.

Ha ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle H}$ halmaz legnagyobb eleme, akkor ${\displaystyle x}$ szuprémuma a ${\displaystyle H}$ halmaznak.

Ha a ${\displaystyle H}$ halmaznak nincs szuprémuma, akkor nincs maximuma sem.

Ha a ${\displaystyle H}$ halmaz szuprémuma nem eleme a halmaznak, akkor nincs maximuma.

Ha a ${\displaystyle H}$ halmaz szuprémuma eleme a halmaznak, akkor maximuma egyenlő a szuprémumával.

Hasonló a kapcsolat a minimum és az infimum között: Ha ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle H}$ halmaz legkisebb eleme, akkor ${\displaystyle x}$ infimuma a ${\displaystyle H}$ halmaznak.

Ha a ${\displaystyle H}$ halmaznak nincs infimuma, akkor nincs minimuma sem.

Ha a ${\displaystyle H}$ halmaz infimuma nem eleme a halmaznak, akkor nincs minimuma.

Ha a ${\displaystyle H}$ halmaz infimuma eleme a halmaznak, akkor minimuma egyenlő az infiumumával.

Teljes rendezés esetén minden véges nemüres részhalmaznak van maximuma és minimuma, így a

${\displaystyle \max(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$

függvényértékek jóldefiniáltak. A definíció végezhető rekurzívan:

${\displaystyle \max(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\max(x_{1},\max(x_{2},\dotsc ,x_{n}))}$

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\min(x_{1},\min(x_{2},\dotsc ,x_{n}))}$

Két paraméter esetén teljesülnek a következők:

${\displaystyle \max(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1}+x_{2}+|x_{1}-x_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})={\frac {x_{1}+x_{2}-|x_{1}-x_{2}|}{2}}}$

Ezzel könnyen belátható, hogy a maximum és aminimum folytonos függvények.

Három paraméter esetén, ahol ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \max(x_{1},x_{2})+x_{3}=\max(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{3})}$

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})+x_{3}=\min(x_{1}+x_{3},x_{2}+x_{3})}$

Legyen ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ tetszőleges valós halmaz, melynek létezik maximuma és minimuma. Ekkor könnyen ellenőrizhetőek a következő azonosságok:

${\displaystyle \max \,A=-\min -A}$

${\displaystyle \max \,\lambda A={\begin{cases}\lambda \max A&{\text{, ha }}\lambda >0\\\lambda \min A&{\text{, ha }}\lambda <0\end{cases}}}$

${\displaystyle \max \,(A+B)=\max \,A+\max B}$

Továbbá, ha ${\displaystyle A,\,B}$ minden eleme nemnegatív, és ${\displaystyle q\,}$ tetszőleges valós, akkor

${\displaystyle \max A^{q}=\left(\max A\right)^{q}}$

${\displaystyle \max(AB)=\max A\cdot \max B}$.

Mindezek a függvények folytonosak, hiszen folytonos függvények kompozíciója folytonos.

A következő két állítás ekvivalens a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel: Legyenek ${\displaystyle \lambda _{1}\ldots \lambda _{n}}$ és ${\displaystyle c\,}$ nem negatív valósok:

${\displaystyle \min \limits _{\prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=c}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}:=\min\{\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\,:\forall (x_{i}>0)(\,\prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=c)\}=n{\sqrt[{n}]{\frac {c}{\prod \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}}}}}$.

Tekintve a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

${\displaystyle {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{\frac {c}{\prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}}}$, ami egyenlőséggel teljesül, amennyiben ${\displaystyle x_{i}=x_{j}\,}$ minden ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ - re, ahonnan adódik.

A most belátott állítás ekvivalens következménye a következő:

${\displaystyle \max \limits _{\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=c}\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}=\left({\frac {c}{n}}\right)^{n}{\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}}}}$

• Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6

Ez a szócikk részben vagy egészben a Größtes und kleinstes Element című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.