Maximális ideál

Egy maximális ideál az algebrában, azon belül a gyűrűelméletben egy olyan ideál, ami a valódi ideálok között tartalmazásra nézve maximális.

Legyen ${\displaystyle R}$ egy gyűrű és ${\displaystyle I\subsetneq R}$ egy valódi ideál. Ekkor ${\displaystyle I}$ maximális kétoldali ideál, ha a következő ekvivalens tulajdonságok teljesülnek:

• Nem létezik olyan ${\displaystyle J\subsetneq R}$ valódi ideál, hogy ${\displaystyle I\subsetneq J}$.
• Minden ${\displaystyle J}$ ideálra ${\displaystyle I\subseteq J}$-ből következik, hogy ${\displaystyle I=J}$ vagy ${\displaystyle J=R}$.
• Az ${\displaystyle R/I}$ faktorgyűrű egyszerű.

Analóg módon definiálhatók a egyoldali maximális ideálok is; a következőkben csak a jobboldali definíciók szerepelnek. Legyen ${\displaystyle A\subseteq R}$ egy jobbideál. Ekkor ${\displaystyle A}$ jobboldali maximális ideál, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek:

• Nem létezik olyan ${\displaystyle B\subsetneq R}$ valódi jobbideál, hogy ${\displaystyle A\subsetneq B}$.
• Minden ${\displaystyle B}$ jobbideálra ${\displaystyle A\subseteq B}$-ből következik, hogy ${\displaystyle A=B}$ vagy ${\displaystyle B=R}$.
• Az ${\displaystyle R/A}$ faktormodulus egyszerű.

Az egy- illetve kétoldali maximális ideálok fogalma a minimális ideálok fogalmának duálisa.

• Testekben az egyetlen maximális ideál ${\displaystyle \{0\}}$.
• A ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ polinomgyűrű maximális ideáljai az ${\displaystyle x-c}$ elemek által generált főideálok, ahol ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$.
• A racionális egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűjében a maximális ideálok a prímszámok által generált főideálok.
• Általánosabban egy főidálgyűrű maximális ideáljai a nemnulla prímideálok.
• Egy algebrailag zárt ${\displaystyle K}$ test feletti ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ polinomgyűrű maximális ideáljai az ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ alakú ideálok (ez az úgynevezett gyenge Nullstellensatz).

• Ha ${\displaystyle R}$ egységelemes kommutatív gyűrű és ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R}$ ideál, akkor ${\displaystyle {\mathfrak {k}}=R/{\mathfrak {m}}}$ akkor és csak akkor test, ha ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ maximális ideál. Ilyenkor ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$-t az ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ maximális ideál maradéktestének nevezzük. Az állítás nem-egységelemes gyűrűkben nem igaz: ${\displaystyle 4\mathbb {Z} \subset 2\mathbb {Z} }$ maximális ideál, de ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ nem test.
• Krull tétele: minden nemzéró egységelemes gyűrűben van maximális ideál. Az állítás igaz egyoldali ideálokra is.
• Kommutatív egységelemes gyűrűkben minden maximális ideál prímideál; a megfordítás általában nem igaz.

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Maximal ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.