Másodfokú függvény

A másodfokú függvény, más néven kvadratikus függvény vagy másodfokú polinom egy olyan matematikai függvény, amelynek legmagasabb hatványú tagja másodfokú.

A másodfokú függvény grafikonja általában egy parabola, melynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Alakja attól függ, hogy a függvény milyen előjelű másodfokú taggal rendelkezik. Ha a másodfokú tag előjele pozitív, akkor a parabola lefelé nyitva van, ha pedig negatív, akkor felfelé nyitva van.

Bővebben: Másodfokú egyenlet

Az egyváltozós másodfokú függvény általános alakja :${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}$. Adva lehet ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$ tényezős alakban, ahol r₁ és r₂ a függvény gyökei, vagy ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}$ csúcsponti formában, ahol h és k a csúcspont x és y koordinátái. Az általános alakról a tényezős alakra a megfelelő egyenlet megoldásával, a csúcsponti formára kiemeléssel és teljes négyzetté alakítással lehet áttérni.

Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$, ${\displaystyle a\neq 0}$

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

${\displaystyle f(x)=(dx+e)^{2}+f}$.

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából (${\displaystyle D}$) következik (${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$):

• ha ${\displaystyle D>0}$, akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
• ha ${\displaystyle D=0}$, akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
• ha ${\displaystyle D<0}$, akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Az ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ standard formájú másodfokú függvény parabolája:

• Ha a > 0, akkor a parabola felfelé nyitott, a függvény konvex
• Ha a < 0, akkor a parabola lefelé nyitott, a függvény konkáv

Az a főegyüttható kapcsolódik a parabola paraméteréhez: a nagyobb abszolútértékű a meredekebbé teszi a parabolát. Azonban, mivel a grafikon nem egyenes, azért ez nem meredekség, azt a derivált adja meg: ${\displaystyle y=2ax+b}$.

A szimmetriatengelyt a b és az a együtthatók határozzák meg. Ennek helye megegyezik a csúcspont x koordinátájával és a csúcsponti alak h paraméterével:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

A c konstans tag az y tengelymetszet magassága.

A parabola csúcspontja az a pont, ahol a parabola monotonitást vált: csökkenőből növekvővé, vagy növekedőből csökkenővé fordul. A csúcspont a másodfokú függvény szélsőértékhelye, illetve szélsőértéke. Ha a < 0, akkor maximum, ha a > 0, akkor minimum. Koordinátái a csúcsponti egyenletből olvashatók le:: (h, k).

Az ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ standard formából a (h, k) koordináták a főegyüttható kiemelésével és teljes négyzetté kiegészítésével a következő formára hozható:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

Tehát a (h, k) csúcspont a standard formából kapható, mint:

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Az ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$ tényezős alakból a csúcspont x koordinátája, melynek behelyettesítésével megkapható az y koordináta is:

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!}$

Az ${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$ függőleges egyenes a parabola tengelye.

Az ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ standard formájú másodfokú függvény szélsőértéke is meghatározható az ${\displaystyle y=2ax+b}$ deriváltja segítségével. A függvény szélsőértéke ott van, ahol a derivált értéke nulla. A derivált elsőfokú, így egyetlen gyöke: ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ és a hozzá tartozó függvényérték:

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,}$

Ezzel újra a csúcspont koordinátáihoz jutunk:

${\displaystyle (h,k)=\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

A másodfokú függvény (${\displaystyle f(x)=x^{2}}$) alapfüggvényének általános jellemzése:

• Értelmezési tartomány: ${\displaystyle D_{f}:x\in \mathbb {R} }$
• Értékkészlet: ${\displaystyle R_{f}:y\in \mathbb {R} ^{+}\cup {0}}$
• Szélsőértékek (extrémumok):
  • x_min = 0;
  • y_min = 0;
  • x_max = ∅;
  • y_max = ∅.
• Zérushelyek: ${\displaystyle x_{1}=0}$
• Monotonitás:
  • ${\displaystyle f(x)}$ szigorúan monoton csökkenő az ${\displaystyle x\in ]-\infty ;0[}$ nyílt intervallumon;
  • ${\displaystyle f(x)}$ szigorúan monoton növekvő az ${\displaystyle x\in ]0;+\infty [}$ nyílt intervallumon.
• Paritás: páros függvény.
• Korlátosság: alulról korlátos.
• Előjeles alakulás:
  • ${\displaystyle f(x)>0}$ (vagyis ${\displaystyle f(x)}$ pozitív) az ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ tartományban;
  • ${\displaystyle f(x)=0}$, ha ${\displaystyle x=0}$
  • ${\displaystyle f(x)<0}$ (vagyis ${\displaystyle f(x)}$ negatív) az ${\displaystyle x\in \emptyset }$ tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
• Folytonosság: a folytonosság fennáll.
• Inflexiós pont(ok):

f ''(x₀) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

• Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
• Deriváltjai:
  • ${\displaystyle f'(x)=2x}$.
  • ${\displaystyle f''(x)=2}$.
  • ${\displaystyle f'''(x)=0}$.

• Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója (${\displaystyle a}$) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha ${\displaystyle a}$ negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
• Zérushelyek:
  • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
  • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$ képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
  • a gyökök abszolútértéke nem nagyobb, mint ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,}$, ahol ${\displaystyle \phi }$ az ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$ aranymetszés.^[1]
• Paritás:
  • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha ${\displaystyle b=0}$.
  • A függvény páratlan paritása kizárt.
  • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
• Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
• Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az ${\displaystyle x}$ tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

• Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az ${\displaystyle x\in ]a;b[}$ nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a ${\displaystyle -\infty }$; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

• Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

• Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó ${\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}$ deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

• Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

A másodfokú függvények négyzetgyöke különböző kúpszeleteket írhat le, jellemzően hiperbolát vagy ellipszist.

Ha ${\displaystyle a>0\,\!}$, akkor az ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ egyenlet hiperbolát ír le. A tengelyek iránya az ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$ egyenletű parabola minimumpontjának ordinátájától függ. Ha ez negatív, akkor a hiperbola főtengelye vízszintes, ha pozitív, akkor függőleges.

Ha ${\displaystyle a<0\,\!}$, akkor az ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ egyenlet ellipszist, vagy üres ponthalmazt ír le. Speciális esetként kör is lehet. Ez attól függ, hogy az ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$ parabola maximumpontjának ordinátája milyen előjelű. Ha pozitív, akkor van ellipszis, ha negatív, akkor nincs.

Egy kétváltozós másodfokú függvény alakja

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}$

ahol A, B, C, D, E rögzített együtthatók, és F konstans tag. Grafikonja másodrendű felület, melynek metszete az ${\displaystyle z=0\,\!}$ síkkal kúpszelet. Így lesz a kúpszeletek egyenlete kétváltozós.

• Ha ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}$, akkor a függvény képe hiperbolikus paraboloid, szélsőértékek nincsenek.
• Ha ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,}$, akkor a függvény képe elliptikus paraboloid. A függvénynek minimuma van, ha A>0, és maximuma, ha A<0. Jelölje a szélsőérték helyét és értékét ${\displaystyle (x_{m},y_{m})\,}$, ekkor:

• ${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$
• ${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

• Ha ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$ és ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}$ akkor a függvény képe parabolikus henger, szélsőértékek nincsenek.
• Ha ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$ és ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,}$ akkor a függvény képe parabolikus henger, és szélsőértékét egy egyenes mentén veszi fel. Ez minimum, ha A>0, és maximum, ha A<0.

• Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 978 963 2790 114 
• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratic function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.