Log-normális eloszlás
A log-normális eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás, melyre az jellemző, hogy a valószínűségi változó logaritmusa normális eloszlású.
Ha X valószínűségi változó normális eloszlású, akkor Y=exp(X) log-normális eloszlású. Hasonlóképpen, ha Y log-normális eloszlású, akkor X=log(Y) normális eloszlású.
Ezt az eloszlást Galton-eloszlásnak is szokták hívni Francis Galton után, továbbá más elnevezések is előfordulnak, mint például: McAlister, Gibrat és Cobb–Douglas.
A változókat log-normálisként modellezik, ha független valószínűségi változók többszörös szorzataként jellemezhetők.(Ezt igazolja a log-tartományra érvényes központi határérték-elmélet).
Például a drót nélküli távközlésben az árnyékolás és a lassú fading jelenség okozta jelveszteséget log-normális eloszlásúnak tekintik.
A log-normális eloszlás egy X valószínűségi változóra nézve maximális-entrópia típusú valószínűség eloszlású, ha várható értéke és szórásnégyzete: .[1]
Hely- és skálaparaméterek
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Some_log-normal_distributions.svg/300px-Some_log-normal_distributions.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Lognormal_distribution_CDF.svg/300px-Lognormal_distribution_CDF.svg.png)
A normális eloszlás standardizálhatóságán alapul, hogy az X log-normális eloszlású valószínűségi változót egyértelműen jellemzi a μ és a σ értékpár. Ha
ahol Z egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor
Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális.
Ha loga(Y) normális eloszlású, akkor logb(Y) is az, bármely pozitív számra. Hasonlóképpen, ha normális eloszlású, akkor is az, ahol a egy pozitív szám, ami nem egyenlő 1-gyel. Logaritmikus ábrázolásnál, a μ és σ-t helyparaméternek, illetve skálaparaméternek hívják.
Jellemzők
A log-normális eloszlású valószínűségi változó csak pozitív valós értéket vehet fel.
Sűrűségfüggvény
A log-normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:
(Ez a változók cseréjének szabályából következik)
Kumulatív eloszlásfüggvény
ahol erfc a komplementer hibafüggvény, és Φ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.
Karakterisztikus függvény
A karakterisztikus függvény, E[e itX] több megjelenítése is ismert.
Az integrálja konvergál Im(t) ≤ 0. A legegyszerűbb, ha Taylor-sorbafejtést alkalmazunk:
A soros megjelenítés divergál, ha σ2 > 0. Ez azonban elegendő a karakterisztikus függvény kiszámolására pozitív esetén, amíg a szumma felső határértéke érvényes, n ≤ N, ahol
és σ2 < 0.1.
Momentumok
A hely- és skálaparaméterek ismerete esetén könnyebben használható a mértani középérték és a geometrikus szórás, mint az számtani középérték és a szórás.
Geometrikus momentumok
A log-normális eloszlás mértani közepe: . Mivel a log-normális eloszlás logaritmusa szimmetrikus, és a kvantilisek monoton transzformáción megmaradnak, a mértani közepe (várható értéke) egyenlő a mediánnal.[2] A mértani közép (mg) levezethető az számtani középből (ma):
A mértani szórás:
Aritmetikai momentumok
Ha X log-normális eloszlású valószínűségi változó, akkor a várható értéke (E, számtani középérték), szórásnégyzete (Var), és szórása (s.d.) a következő:
Fordítva: a μ és σ paraméterek megkaphatók, ha a várható érték és a szórásnégyzet ismert:
Bármely s valós vagy komplex számra és a log-normális X-re:
A log-normális eloszlást nem határozzák meg kizárólagosan a momentumai E[Xk] k ≥ 1 esetre, azaz létezik néhány más eloszlás is hasonló momentumokkal az összes k-ra. Valójában egy nagy eloszlás család létezik hasonló momentumokkal, mint a log-normális eloszlás.
Módusz és medián
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Comparison_mean_median_mode.svg/250px-Comparison_mean_median_mode.svg.png)
A módusz a sűrűségfüggvény maximális pontja. Elsősorban megoldja a (ln ƒ)′ = 0 egyenletet:
A medián az a pont, ahol FX = 1/2:
Szórási tényező
Egyéb összefüggés
Egy adathalmaz, mely a log-normális eloszlásból származik, szimmetrikus Lorenz-görbe.[3] A harmonikus (H), mértani (G) és számtani (A) közép (várható érték) kapcsolódik egymáshoz;[4] és ez a kifejezés adja meg az összefüggést:
A log-normális eloszlások végtelenül oszthatók.
Alkalmazások
- Biológia:
- Élő szövetek méretei (hosszúság, súly, bőrfelület))[5]
- Inaktív emberi testrészek hosszúság (haj, köröm, fogak)
- egyes fiziológiás mérések (például : vérnyomás férfi/női populációnál)[6]
- Hidrológia:[7]
- Esőzési adatok (extrém értékek)
- Folyó áradások adatai
- Gazdaság:
- A lakosság jövedelme 97–99%-a log-normális eloszlást mutat.[8]
- Pénzügyek
- Black-Scholes modell: átváltási ráták, árindexek, tőzsde mutatók[9]
- Települések:
- Városok mérete log-normális eloszlású
- Megbízhatósági analízis:
- Karbantartási idők meghatározásánál log-normális eloszlást is használnak
- Drót nélküli kommunikáció:[10]
- Mechanika:
- Súrlódási tényezők számítása[11]
Irodalom
- Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Lognormal Distributions", Continuous univariate distributions. (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994.
- Leipnik, Roy B: On Lognormal Random Variables: I – The Characteristic Function", (hely nélkül): Journal of the Australian Mathematical Society Series B, 32. 1991.
Jegyzetek
- ↑ (2009) „Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model”. Journal of Econometrics, 219–230. o, Kiadó: Elsevier. [2016. március 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. június 2.)
- ↑ Leslie E. Daly, Geoffrey Joseph Bourke (2000) Interpretation and uses of medical statistics Edition: 5. Wiley-Blackwell ISBN 0-632-04763-1, ISBN 978-0-632-04763-5 (page 89)
- ↑ (2000) „Describing inequality in plant size or fecundity”. Ecology 81 (4), 1139–1142. o. DOI:[1139:DIIPSO2.0.CO;2 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2].
- ↑ name=Rossman1990>Rossman LA (1990) "Design stream flows based on harmonic means". J Hydraulic Engineering ASCE 116 (7) 946–950
- ↑ Huxley, Julian S.. Problems of relative growth. London (1932). ISBN 0-486-61114-0. OCLC 476909537
- ↑ Makuch, Robert W., D.H. Freeman, M.F. Johnson (1979). „Justification for the lognormal distribution as a model for blood pressure”. Journal of Chronic Diseases 32 (3), 245–250. o. DOI:(http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021968179900705 10.1016/0021-9681(79)90070-5. (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021968179900705. (Hozzáférés: 2012. február 27.)
- ↑ Ritzema (ed.), H.P.. Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands, 175–224. o. (1994). ISBN 90-70754-33-9
- ↑ Clementi, F.; Gallegati, M. (2005) "Pareto's law of income distribution: Evidence for Germany, the United Kingdom, and the United States", EconWPA
- ↑ Black, Fischer and Myron Scholes, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3, (May/June 1973), pp. 637–654.
- ↑ Archivált másolat. [2012. január 13-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. január 8.)
- ↑ doi:10.1016/j.ress.2007.09.005
Külső hivatkozások
- A log-normális eloszlás a MathWorld-ön (angolul)
Matematikai portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap