A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. Eredetileg Heaviside fejlesztette ki a differenciálegyenletek megoldásához segédeszközként.
Definíció
Legyen
függvény, mely minden t≥0 valós számra értelmezett. A függvény Laplace-transzformáltjának nevezzük az
![{\displaystyle F(s)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de910d55cc002bcbf7379a4167dc195f097d254f)
függvényt. A transzformált létezésének feltétele, hogy a definícióban szereplő integrál véges legyen.[1]
Ha a transzformált létezik és véges, akkor
-t generátorfüggvénynek nevezzük. A transzformált jelölése:
A transzformált létezésére elegendő feltétel, ha
a pozitív féltengelyen szakaszonként folytonos és exponenciálisan korlátos, azaz van olyan
és
valós szám, hogy az
egyenlőtlenség teljesül. Egészen pontosan a transzformált létezik minden olyan
szám esetén, amire
.[2]
Tulajdonságai
Linearitás
A Laplace-transzformáció lineáris, azaz két függvény összegének transzformáltja a két függvény transzformáltjának az összege, valamint bármely függvény konstans-szorosának a transzformáltja a transzformált konstans-szorosa lesz. Másképpen megfogalmazva a függvények lineáris kombinációját a Laplace-transzformáció lineáris kombinációba viszi át. Röviden:
Bizonyítás:
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\alpha f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+\int \limits _{0}^{\infty }\beta g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\alpha \int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t+\beta \int \limits _{0}^{\infty }g(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\alpha L[f]+\beta L[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395ea27d9be3c299e84b2032b6ac849f3b64eb57)
Azaz a Laplace-transzformáció linearitása az integrálás linearitásának következménye.
A generátorfüggvény deriváltja
Bizonyítás:
![{\displaystyle =\left[f(t)e^{-st}\right]_{0}^{\infty }-\int \limits _{0}^{\infty }f(t)(-s)e^{-st}\mathrm {d} t=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673ca395e6b209cf2d37d504e0c1d8fc69b530e6)
![{\displaystyle =-f(0)+s\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\mathrm {d} t=sL[f]-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc85fd7b15b64d9cdfa63a11d637d3899d2c7a0)
Ennek akkor van jelentősége, ha a Laplace-transzformációt differenciálegyenletek megoldására használjuk.
A második derivált hasonlóan határozható meg, illetve általánosítható akárhányadik deriváltra is. A transzformáltban ekkor minden alacsonyabb rendű derivált szerepelni fog a 0-ban felvett értékkel, valamint a transzformált változójának a megfelelő hatványai.
Ez teszi lehetővé, hogy a transzformációval differenciálegyenleteket oldhassunk meg.
Konvolúciónak nevezzük az alábbi módon értelmezett műveletet:
![{\displaystyle \left(f*g\right)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(x)g(t-x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c826909c22c955d7bd9ae9aa38544ed214e5650e)
A függvénykonvolúció Laplace-transzformáltja a függvények transzformáltjainak szorzata:
![{\displaystyle L[f*g]=L[f]\cdot L[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9f6dc625c2c65eef743f88387760ab76133232)
Bizonyítás:
, és az exponenciális tényezőt két részre bontjuk
, itt pedig új változót vezetünk be, mégpedig a
helyettesítéssel, így
lesz
, az integrandusok pedig szétválaszthatóak, így kapjuk: ![{\displaystyle =\left(\int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}\mathrm {d} x\right)\cdot \left(\int \limits _{0}^{\infty }g(x')e^{-sx'}\mathrm {d} x'\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98081c4f28defbd179b5c90808c575f4a0045684)
![{\displaystyle =L[f]\cdot L[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ac81aaf0677ae0430f1a4bd83dc06fa7f2ff60)
Csillapítási tétel
Ha a függvényünket megszorozzuk egy exponenciális függvénnyel, akkor ez a transzformáltban eltolásként jelentkezik:
![{\displaystyle L[e^{-\lambda t}f(t)]=F(s+\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52601a456b807d6db2e20adbf1a76204ad34525)
Bizonyítás:
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s+\lambda )t}\mathrm {d} t=F(s+\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddefc789f2cf5d0ab6aa4ac25c9f5b22604991d)
Hasonlósági tétel
Bizonyítás:
, és itt helyettesítsünk:
, aminek eredményeképpen
, így
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f\left(t'\right)e^{-sxt'}\mathrm {d} t'=F(sx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc7e2349997145653a934d25cced4f6c30e0cd0)
E két utóbbi tétel lehetővé teszi, hogy a hagyományos függvénytranszformációkat egyszerűen tudjuk kezelni. Ez főleg a kezdetiérték-problémák esetében lényeges, ugyanis ritkán áll rendelkezésre a
eset, amit egyszerűen meg tudunk oldani.
Alkalmazások
A Laplace-transzformáció elsődleges alkalmazási területe az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása, de használható sorozatok összegének kiszámítására, a Fourier-transzformáció együtthatóinak megállapítására is.
Differenciálegyenletek
A megoldás azon alapul, hogy a függvények deriváltjai helyettesíthetőek a Laplace-transzformáció révén, így egy egyszerű algebrai egyenletet kapunk, amit megoldva az eredeti differenciálegyenlet megoldásának Laplace-transzformáltját kapjuk. A megoldás szempontjából lényeges, hogy ismernünk kell a peremfeltételeket, ugyanis ezek a derivált transzformáltjában jelentkeznek.
Példafeladat
Oldjuk meg a
![{\displaystyle 2f''-2f'-12f=1,\,f(0)=0,\,f'(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497d69e26e61eede539e757cb4a072075c543309)
kezdetiérték-problémát!
Mivel a Laplace-transzformáció lineáris művelet, a két oldalnak külön kiszámolhatjuk a transzformáltját, az egyenlőség érvényes marad. Az egyenlet alakja ekkor
.
Átalakítva, és a kezdeti értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy
,
ami algebrai úton
-re rendezhető:
.
Ezt résztörtekre bonthatjuk, így az alábbi kifejezést kapjuk:
,
aminek az inverz transzformáltját már elő tudjuk állítani. Ezek szerint a kezdetiérték-probléma megoldása
.
Értelemszerűen akármilyen rendű differenciálegyenletet meg tudunk a transzformáltak segítségével oldani, egyszerű algebrai átalakítások révén. Ennek révén alakult ki a disztribúcióelmélet nevű matematikai tudományág.
Sorozatösszeg
Egyes sorok esetén ha az általános taggal adott sorozatot egy Laplace-transzformáltnak tekintjük, akkor a generátorfüggvény egy mértani sorozat szorzótényezője lesz, aminek összegét egyszerű meghatározni. Ezt az összeget integrálva kapjuk meg a sorozat összegét.[1]
Legyen
. A sorozatot felfoghatjuk úgy, mint egy
függvény természetes számokra való leszűkítését. Ebben az esetben felírhatjuk a generátorfüggvénnyel is, és az integrálkifejezést összegezzük. Ha a sor egyenletesen konvergens, akkor az integrálás és az összegzés felcserélhető. Az integrandus egy mértani sorozat lesz, ami egyszerűen összegezhető, majd az így kapott összegfüggvényt kell integrálni:
![{\displaystyle S=\sum a_{n}=\sum F(n)=\sum \int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-nt}\mathrm {d} t=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f3eb0b50c42a6639adaa16a5f6beceaf940adb)
. ![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t){\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56049719415deb92903049a039212da71764a1b1)
Példafeladat
Számítsuk ki a
![{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01002517f744a68818331f5d99c8f6a67515e19)
összeget![3]
Tételezzük fel, hogy ezt egy Laplace-transzformált. Az egyszerűbb kezelhetőség érdekében bontsuk résztörtekre:
.
Ebből a generátorfüggvény egyszerűen adódik, akár táblázatból való visszakereséssel is:
.
Innen a sor összege már egyszerűen meghatározható. Először felírjuk a transzformálás definícióját:
,
majd felcseréljük az összegzést és az integrálást. Itt rögtön észre lehet venni, hogy
-re összegzünk, ezért a zárójelben írt tag, azaz a generátorfüggvény kiemelhető az összegzés elé:
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right)\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}\mathrm {d} t=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2909d853118fa09bf8f1fba1eb9fd861b3e7f9)
![{\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-e^{-t}\right){\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\mathrm {d} t=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27b90dfc3a5e6fcc6324374a9e77767d0bcfaeb)
A sor összege tehát 1. Erről más módszerekkel szintén meggyőződhetünk.
Egy függvény Fourier-sorát fel tudjuk írni komplex számok segítségével is. Ehhez mindössze azt kell figyelembe venni, hogy egy függvény komplex Fourier-sora a következő alakú:
.
Az összegben a
együtthatókat a következő formula adja meg:
.
Ha a függvényt a
intervallumon kívül nullának tekintjük, akkor a fenti formula egyben a függvény Laplace-transzformáltja is. Így megkapjuk a komplex Fourier-együtthatókat, amikből a valós együtthatókat is megkaphatjuk:
![{\displaystyle a_{0}=c_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c93be04528e825a852af639f4338b268086c90)
![{\displaystyle a_{k}=2\cdot {\mathfrak {Re}}(c_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fd19a6777b32340df5efcc4a71eb82c5e36005)
.
Általában a függvényt a Heaviside-féle egységugrás-függvénnyel tudjuk a perióduson kívül nullává tenni. Ezzel tulajdonképpen meg is vannak a Fourier-komponensek, egy táblázatból ki lehet őket olvasni, egyedül az
helyettesítést kell elvégeznünk.
Példafeladat
Határozzuk meg a fűrészfog-jel Fourier-együtthatóit!
A jel alakja
a
intervallumon, ami egyben egy periódusa is a függvénynek.
Szorozzuk meg a függvényt a
tényezővel. Ez valójában az egységugrás-függvény olyan formában, hogy a perióduson kívül mindenképpen nulla legyen. Így az együtthatók kiszámítása a következő módon történik:
, ahol
az
függvény leszűkítése a periódusra. Ennek transzformáltja ![{\displaystyle F_{T}(s)={\frac {1}{s^{2}}}-e^{-Ts}{\frac {1}{s^{2}}}={\frac {1-e^{-Ts}}{s^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05dbd514f4769fb5fc663d8db20eec7a39871e5)
Ez már tulajdonképpen az együtthatókat adja. Ahhoz, hogy azokat megkapjuk, a transzformáltban a változót helyettesítjük:
![{\displaystyle c_{k}=F(ik\omega )={\frac {e^{-Tik\omega }-1}{k^{2}\omega ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b084dc66253af1d54e05ebaa933ed428b227d5)
Az egyetlen fennmaradó probléma a kezdőegyüttható meghatározása (
), ezt azonban a L'Hospital-szabály alkalmazásával meg tudjuk válaszolni, így adódik:
![{\displaystyle c_{0}={\frac {e^{-iT\omega }-1}{\omega ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c0625b06d6b6afc433272909fbf463eb7d0b65)
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Jegyzetek
- ↑ a b Hanka László, Zalay Miklós. Komplex függvénytan (2003. szeptember 2.)
- ↑ A Laplace-transzformált
- ↑ Természetesen ezt a sort (és még jópár másikat is) ki lehet számolni más módszerekkel is. Csak azért ezzel mutatjuk be, mert egyszerűen kezelhető, és könnyen ellenőrizhető az eredménye.
Kapcsolódó oldalak