A P pont (jelölése fekete gömbbel) a (μ, ν, φ) lapított ellipszoid koordináta-rendszerben. A z-tengely függőleges, a fókuszok ±2-ben helyezkednek el. A piros lapított szferoid (lapított gömb) a μ = 1 koordinátához tartozik. A kék félhiperboloid ν = 45°-nak felel meg. A φ = −60° azimut méri a zöld xz félsík és a P pontot tartalmazó sárga félsík diéderszögét. A P pont Descartes-koordinátái megközelítőleg (1.09, −1.89, 1.66)
A geometriában a lapított ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat elválasztó szimmetriatengely körül forgatjuk meg. Így a fókuszok egy sugarú gyűrűvé alakulnak az x-y síkban. A másik szimmetriatengely körüli forgatás nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.
A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy lapított ellipszoid vagy egy egyköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Például így számíthatók Perrin súrlódási tényezői, amiért Jean Baptiste Perrint 1926-ban fizikai Nobel-díjjal tüntették ki. Ezek a tényezők határozzák meg a molekulák rotációs súrlódását, ami fontos különböző technológiák alkalmazásában, mint a fehérje-NMR, amiből következtetni lehet a molekulák alakjára és térfogatára. A lapított szferoid koordináta-rendszer hasznos elektromágnesességgel kapcsolatos problémák megoldásában, az akusztikában, a folyadékdinamikában, illetve az anyagok és a hő terjedésének tanulmányozásában.
A (µ,ν,φ) rendszer
A μ és ν lapított szferoid koordináták képe az x-z síkban, ahol φ nulla és a egy. A konstans μ-höz tartozó görbék piros ellipszisek, míg a konstans ν-höz tartozó görbék félhiperbolákat formáznak ebben a síkban. A z-tengely függőleges, és szétválasztja a fókuszokat; a z és a ν koordiáták előjele mindig megegyezik. Innen a konstans μ-höz és ν-höz tartozó felületek a z-tengely körüli forgatással keletkeznek, ahogy azt a bevezetőben levő ábra mutatja
A leggyakoribb definíció a koordinátákat használja, ahol:
ahol nemnegatív valós szám, és a azimutra az összefüggés teljesül. Ezeket a koordinátákat azért kedvelik, mert nem fajulnak el; ha van egy pont, akkor annak egyértelműen meghatározhatók az Descartes-koordinátái. A fordítottja szintén igaz, kivéve a -tengelyt és a fókuszgyűrű belsejét.
Koordinátafelületek
A konstans μ-höz tartozó koordinátafelületek ellipszoidok, az trigonometrikus összefüggések miatt, és mivel ellipszisekből keletkeztek úgy, hogy a gyújtópontokat elválasztó szimmetriategely körül forgatták meg őket. Egy x-z síkban levő ellipszis fél nagytengelye a ch μ hosszú, és x-tengely menti, míg a fél kistengelye a sh μ hosszú, és z-tengely menti. A fókuszok az x-tengelyen helyezkednek el, és z-koordináta ±a.
Hasonlóan, a konstans ν-höz tartozó felületek fél egyköpenyű forgáshiperboloidok, mivel Ha ν pozitív, akkor a fél hiperboloid az x-y sík fölött van, míg negatív ν esetén az x-y sík alá esik. A ν szög geometriai jelentése a hiperboloidok aszimptotáinak szöge. A hiperboloidok gyújtópontja az x-tengelyen a ±a pontokban van.
Inverz transzformáció
A (μ, ν, φ) a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordinátákból. A φ azimut:
A ρ cilindersugár: és a φ által definiált síkban a fókuszoktól mért távolság:
Ezekkel a többi koordináta: ahol μ mindig nemnegatív, és ν előjele megegyezik z előjelével.
Egy másik módszer az inverz transzformáció kiszámítására: ahol
Skálázási tényezők
A skálázási tényezők a és a koordináták esetén megegyeznek: míg az azimut skálázási tényezője
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Bázisvektorok
A koordináta-rendszer koordináta-rendszer bázisvektorai Descartes-koordinátákban kifejezhetők, mint: ahol a Descartes-féle bázisvektorok. Továbbá a konstans -höz tartozó ellipszoid felszín kifelé mutató normálvektora, az azimuthoz tartozó egységvektor, és a lapított szferoid érintősíkjában jobbfogású három dimenzióssá egészíti ki a koordináta-rendszert.
A (ζ, ξ, φ) rendszer
Néha használnak egy (ζ, ξ, φ) rendszert is, ahol , és ugyanaz, mint előbb (Smythe 1968). A koordinátára teljesül, hogy és a koordinátára .
Kapcsolat a Descartes-rendszerrel:
Skálázási tényezők
A koordináták skálázási tényezői:
A skálázási tényezők ismeretében a koordináták több függvénye is kiszámítható az ortogonális koordináta-rendszerek általános módszerei alapján. Az infinitezimális térfogatelem:
A gradiens:
A divergencia:
A Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Lapított szferoid harmonikus függvények
Ahogy a szférikus koordináták és a szférikus harmonikus függvények esetén, a Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával. Ezeket a megoldásokat kényelmes használni, ha a peremfeltételeket egy rögzített koordinátájú felület mentén adták meg.
A változók szétválasztásának módszerével a Laplace-egyenlet egy megoldása: Ez egy három egyenletből álló egyenletrendszert ad, minden változóra egy egyenlettel: ahol az m konstans egész, mivel a φ változó 2π szerint periodikus. Ekkor az n is egész. Az egyenletek megoldása: ahol -k konstansok, és asszocilt Legendre-polinomok, mégpedig rendre első, illetve másodfajúak. A három megoldás szorzata lapított szferoid harmonikus függvény, és a Laplace-egyenlet általános megoldása:
A konstansok csak négy független konstanssá kombinálódnak a harmonikus függvényekben.
A (σ, τ, φ)-rendszer
A P pont (fekete gömbbel jelölve) koordinátafelületei a (σ, τ, φ) alternatív lapított szferoid koordináta-rendszerben. A σ koordinátának megfelelő lapított szferoid pirossal; a φ azimut méri a zöld és a sárga félsíkok szögét. A τ konstanshoz egy egész hiperboloid tartozik, ami kétszeres elfajulást eredményez. Ezt mutatja a két fekete gömb (x, y, ±z)-ben
Néha az alternatív (σ, τ, φ)-rendszert használják, ahol és .[1] Így a σ koordináta legalább egy, míg τ -1 és +1 közé esik, beleértve a határokat. A konstans σ értékekhez ugyanazok a lapított szferoidok tartoznak, mint μ-höz, míg a konstans τ értékekhez teljes forgáshiperboloidok tartoznak, mégpedig a ν-höz és a -ν-höz tartozó két félhiperboloid. Emiatt ezek a koordináták elfajultak, Két, descartes-koordinátákkal adott pont, (x, y, ±z) koordinátái egyeznek ebben a koordináta-rendszerben. Ez látszódik azokból az egyenletekből, amelyek a (σ, τ, φ)-rendszert transzformálják a Descartes-koordináta-rendszerbe:
A és koordináták egyszerű kapcsolatban állnak a fókuszgyűrűvel való távolsággal. Bármely pont esetén a távolság megegyezik -val, míg a különbség megegyezik -val. Tehát a fókusztól mért távoli távolság , míg a közeli .
Koordinátafelületek
A konstans σ-hoz tartozó felületek, a konstans μ-höz tartozó megfelelőikhez hasonlóan lapított szferoidokat alkotnak:
Hasonlóan, a konstans τ-hoz tartozó felületek egyköpenyű forgáshiperboloidokat alkotnak:
Skálázási tényezők
A rendszer skálázási tényezői: míg az azimut skálázási tényezője: .
Ezzel az infinitezimális térfogatelem
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Ahogy a gömbkoordináták esetén, úgy a lapított koordináta-rendszerben is megoldható Laplace egyenlete az együtthatók szétválasztásával. Ez kényelmes akkor, ha a peremfeltételek a lapított ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak adva. A megoldások lapított szferoid harmonikusok alakjában adódnak. (Lásd: Smythe, 1968)
Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 662. o. (1953) Uses ξ1 = a sinh μ, ξ2 = sin ν, and ξ3 = cos φ.
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 115. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity, 3rd, New York: McGraw-Hill (1968)
Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 98. o. (1967) Uses hybrid coordinates ξ = sinh μ, η = sin ν, and φ.
Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 177. o. (1961) Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 182. o. (1956) Like Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν.
Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 31–34 (Table 1.07). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7 Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° - ν, and rename φ as ψ.
Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics), 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7 Treats the oblate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben az Oblate spheroidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.