A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.
Definíció
Ha
méretű és
méretű mátrix, akkor a
Kronecker-szorzat nem más, mint
![{\displaystyle C=(a_{ij}\cdot B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c8100a6a37289a3d792cb2b09ffde14e1236e4)
azaz az
mátrix minden elemét megszorozzuk a
mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete
Részletesebben:
![{\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88948d4780e5d5fcb6e786d9d4c172ea78ceaabb)
Példák
Első példa
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}&4\cdot {\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&6&10&12\\7&8&14&16\\15&18&20&24\\21&24&28&32\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692add94d41842a9a24394e87bf73f1a04668c64)
Második példa
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c3b19a032b7f656435be9295d6cb34527d75f0)
Tulajdonságai
A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában
![{\displaystyle A\otimes B\neq B\otimes A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f138c58dd7fdb76e06bbbfb08d8da9d555851d04)
Azonban mindig vannak
permutációmátrixok, hogy
![{\displaystyle A\otimes B=P(B\otimes A)Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d321a6c4a29cc71d2fbf8a551b7599eb89a0275)
Hogyha
és
négyzetes, akkor választhatók úgy, hogy
legyen.
A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis
![{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d950704e8f7c36c877265a776d3728a2528beec)
![{\displaystyle (B+C)\otimes A=B\otimes A+C\otimes A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69238bf079d68d7740daf1e007f79261075f1c8d)
![{\displaystyle \lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df9cf3ddc0ddea4cb445a426308f1bb7b2a3015)
A Kronecker-szorzás asszociatív:
![{\displaystyle A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adfac05f43fbb3573880c4e1eb2e30bc0b71663)
A transzponáltakra teljesül, hogy:
.
A komplex konjugált mátrixra:
.
Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:
![{\displaystyle (A\otimes B)^{*}=A^{*}\otimes B^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7af6be0b62dc7bdb9c22055b5219b5942352378)
A Kronecker-szorzat rangja:
.
Ha
mérete
és
mérete
, akkor a Kronecker-szorzat determinánsa
.
Ha
az
és
a
sajátértékei, akkor
az
mátrix sajátértékei.
Ha
invertálható, akkor
.
Legyenek
és
komplex mátrixok a
![{\displaystyle A:m\times n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7f10fecc60700f11a4072416733bd5b7f7322c)
![{\displaystyle B:p\times q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2c44a9d5c85eaad96d9d5b98f6c55b561edf3a)
![{\displaystyle C:n\times r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b030957f260e6025c7fd4484741fa208c009ca0)
![{\displaystyle D:q\times s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9440b66aef486f260b40c2d7ed49f55a4d3cd979)
dimenziókkal; ekkor léteznek az
és a
szorzatok, és[1]
.
A pszeudoinverzekre
.
Általában, ha
és
és
általánosított inverzei, akkor
az
általánosított inverze.
Mátrixegyenletek
Adva legyenek az
mátrixok, és keressük azt az
mátrixot, amire
. Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:
![{\displaystyle AXB=C\iff (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5afdaf8902d172fd0a1459c0d9adf79b87db523)
ahol
a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az
mátrix oszlopait
, ekkor az
egy
hosszú oszlopvektor. Hasonlóan,
egy
oszlopvektor.
A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan
, akkor az
mátrix is megvan.
Az ekvivalencia bizonyítása
Teljesül
ahol
Mátrix együtthatós egyenletek
Az
és
indexekhez legyenek adva az
mátrixok. Keressük az
mátrixokat, amelyekre megoldjuk az
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}X_{1}B_{11}+...+A_{1s}X_{s}B_{1s}&=&C_{1}\\&\vdots &\\A_{r1}X_{1}B_{r1}+...+A_{rs}X_{s}B_{rs}&=&C_{r}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b758dd354243ab39e5eb2e0e42a8dfecb77ca8)
egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{11}^{T}\otimes A_{11}&\cdots &B_{1s}^{T}\otimes A_{1s}\\\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}^{T}\otimes A_{r1}&\cdots &B_{rs}^{T}\otimes A_{rs}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,X_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,X_{s}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,C_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,C_{r}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb73ded2aec14ed4a1ffb966f5a81e47f511200)
Kapcsolat a tenzorszorzással
Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti
és
lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy
lineáris leképezés
a
-vel vett tenzorszorzatok között.
Hogyha bázist választunk az
és
tereken, akkor a
lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot
, és a
ábrázolását
! Ekkor az
Kronecker-szorzat a
tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha
a
bázisa, és
a
bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a
bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.
További alkalmazásai
A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.
A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.
Kapcsolódó műveletek
A Tracy‑Singh és a Khatri–Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix mi × nj méretű Aij blokkokra, a B p × q-s mátrix pk × ql méretű Bkl blokkokra particionálva, ahol Σi mi = m, Σj nj = n, Σk pk = p és Σl ql = q.
Tracy–Singh-szorzat
A Tracy–Singh-szorzat definíciója:[2][3]
![{\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} )_{ij}=((\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl})_{kl})_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2113f4875a9306755b1d79cf79ed1a48fa81acef)
ahol a szorzat ij indexű blokkja az mi p × nj q méretű Aij ○ B mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az mi pk × nj ql méretű Aij ⊗ Bkl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.
Példa:
Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:
![{\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53cde028551100b310943f25b2028a764436687)
kapjuk, hogy:
![{\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c | c }\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc17e704f3021d67d304e588037dde99a0c663b1)
![{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582820ef0780c4644d9a7eb92747b29ce0983efb)
Khatri–Rao-szorzat
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png) | Bővebben: Khatri–Rao-szorzat |
Története
A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.
Jegyzetek
- ↑ Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16
- ↑ Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.
- ↑ Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf Archiválva 2011. január 27-i dátummal a Wayback Machine-ben)
Források
- MathWorld: Matrix Direct Product
- Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices.
- Charles F. Van Loan: The ubiquitous Kronecker product. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) 85–100 (online Postscript fájl)