Katenoid
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Catenoid.svg/220px-Catenoid.svg.png)
A katenoid egy felület a 3 dimenziós euklideszi térben, ami a láncgörbének a saját vezéregyenese körüli elforgatásával jön létre. A síkot nem számítva, ez az elsőként felfedezett minimálfelület. Minimálfelület voltát Leonhard Euler állapította meg és igazolta 1744-ben.[1] Jean Baptiste Meusnier publikációja ugyancsak az e témával foglalkozó korai munkák közé tartozik.[2] Csak két minimál-forgásfelület (forgásfelület, ami egyben minimálfelület is) létezik: a sík és a katenoid.[3]
A katenoid a klasszikus Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi paraméteres egyenletekkel definiálható:
- ahol u és v valós paraméterek, c egy nem nulla értékű valós állandó.
- ahol c egy valós állandó.
A katenoid fizikai modellje létrehozható úgy, hogy két kör alakú drótot szorosan egymás mellett szappanos oldatba mártunk, majd onnan kiemelve lassan távolítani kezdjük egymástól őket.[4]
Csavarfelület transzformációjaként
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Helicatenoid.gif)
Mivel mind a katenoid, mind pedig a csavarfelület elemei az úgynevezett Bonnet családnak, így egy katenoid „hajlítással” átvihető egy rész-csavarfelületbe, nyújtás nélkül. Vagyis létezik olyan (majdnem) folytonos és egybevágósági transzformációja bármely kateonidnak egy rész-csavarfelületre, amelynek deformációs családjának bármely eleme minimálfelület (vagyis az átlagos görbülete zérus). Egy ilyen leképezés egy lehetséges paraméterezése a következő:
- bármely -re, a deformációs paraméter ,
ahol egy jobbcsavaros csavarfelületnek felel meg, a kateonidnak felel meg, pedig egy balcsavaros csavarfelületnek felel meg.
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Catenoid című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
- ↑ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
- ↑ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
- ↑ Catenoid at MathWorld. [2013. december 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. december 28.)
- ↑ Videón megnézhető itt.
Külső hivatkozások
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (angolul)
- "Caténoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (franciául)
- Animated 3D WebGL model of a catenoid (angolul)