Induktív dimenzió

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).

Az ${\displaystyle X}$ topologikus tér ${\displaystyle ind(X)\,}$ kis induktív dimenziója így definiálható:

• ${\displaystyle ind(\emptyset ):=-1}$
• ${\displaystyle ind(X)\leq n}$, ha minden ${\displaystyle x\in X}$ pontra és ${\displaystyle x}$ minden ${\displaystyle U}$ nyílt környezetéhez van ${\displaystyle x}$-nek ${\displaystyle V}$ nyílt környezete, hogy ${\displaystyle {\overline {V}}\subset U}$, és ${\displaystyle ind(\partial V)\leq n-1}$.
• ${\displaystyle ind(X)\,=\,n}$, ha ${\displaystyle ind(X)\leq n}$ és nem ${\displaystyle ind(X)\leq n-1}$
• ${\displaystyle ind(X)\,=\,\infty }$, ha nincs ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, amire az ${\displaystyle ind(X)\leq n}$ egyenlőtlenség fennáll.

Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az ${\displaystyle x\in X}$ pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az ${\displaystyle X}$ topolgikus tér ${\displaystyle Ind(X)\,}$ nagy induktív dimenziója így definiálható:

• ${\displaystyle Ind(\emptyset ):=-1}$
• ${\displaystyle Ind(X)\leq n}$, ha minden ${\displaystyle A\subset X}$ halmazhoz, és ${\displaystyle A}$ minden ${\displaystyle U\subset }$ környezetéhez van ${\displaystyle A}$-nak egy nyílt ${\displaystyle V}$ környezete, hogy ${\displaystyle {\overline {V}}\subset U}$ és ${\displaystyle Ind(\partial V)\leq n-1}$.
• ${\displaystyle Ind(X)\,=\,n}$, ha ${\displaystyle Ind(X)\leq n}$ és nem ${\displaystyle Ind(X)\leq n-1}$
• ${\displaystyle Ind(X)\,=\,\infty }$, ha nincs ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, amire az ${\displaystyle Ind(X)\leq n}$ egyenlőtlenség teljesül.

• Az ${\displaystyle ind(X)\leq n}$ állítás formálisan így írható fel: minden ${\displaystyle x\in X}$ pontnak van olyan környezetbázisa, ami ${\displaystyle \leq n-1}$ kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
• Az ${\displaystyle Ind(X)\leq n}$ állítás így formalizálható: minden ${\displaystyle A,B\subset X}$ diszjunkt zárt halmaznak van ${\displaystyle U\supset A}$ és ${\displaystyle V\supset B}$ nyílt környezete, hogy ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$, ${\displaystyle \partial U\leq n-1}$ és ${\displaystyle \partial V\leq n-1}$. Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
• Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.

Ha ${\displaystyle X}$ metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint

${\displaystyle ind(X)\leq Ind(X)\leq dim(X)}$.

P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:

${\displaystyle dim(X)\leq ind(X)\leq Ind(X)}$.

Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:

${\displaystyle ind(X)\,=\,Ind(X)\,=\,dim(X)}$.

K. Nagami konstruált egy ${\displaystyle X}$ normális teret, amire ${\displaystyle ind(X)=0}$, ${\displaystyle dim(X)=1}$ és ${\displaystyle Ind(X)=2}$.

Jelölje ${\displaystyle \beta X}$ azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami ${\displaystyle X}$-et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor

• N. Wendenisow: Ha ${\displaystyle X}$ normális, akkor ${\displaystyle Ind(X)=Ind(\beta X)}$.
• J. R. Isbell: Ha ${\displaystyle X}$ normális, akkor ${\displaystyle dim(X)=dim(\beta X)}$.
• A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.

${\displaystyle Ind}$ és ${\displaystyle dim}$ teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:

• Ha ${\displaystyle X}$ teljes normális tér, és ${\displaystyle Y\subset X}$, akkor ${\displaystyle Ind(Y)\leq Ind(X)}$, és ${\displaystyle dim(Y)\leq dim(X)}$.

Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:

• C. H. Dowker: Ha ${\displaystyle X}$ teljes normális tér, és ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zárt halmazok sorozata, hogy ${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}}$, akkor ${\displaystyle Ind(X)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }Ind(F_{n})}$.
• Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.

Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{n+m}}$.

• Ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor ${\displaystyle ind(X\times Y)\leq ind(X)+ind(Y)}$.
• Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten ${\displaystyle A,B\subset X}$ diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos ${\displaystyle f:X\rightarrow [0,1]}$ függvény, hogy ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ és ${\displaystyle B=f^{-1}(1)}$.

Ha ${\displaystyle X}$ perfekt normális tér, ${\displaystyle Y}$ metrizálható és egyik sem üres, akkor ${\displaystyle Ind(X\times Y)\leq Ind(X)+Ind(Y)}$.

• A ${\displaystyle dim}$ dimenzióra hasonlóak igazak: ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ is metrizálható, vagy ha ${\displaystyle X}$ parakompakt, és ${\displaystyle Y}$ kompakt.

• Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!