Induktív dimenzió
![]() | Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
Az induktív dimenzió a topológiában használatos dimenziófogalmak egyike, amely egy alakzat dimenzióját teljes indukcióval definiálja azt kihasználva, hogy egy test határa általában eggyel kisebb dimenziójú, mint maga a test. Attól függően, pontosan hogyan definiáljuk az eljárást, két némileg különböző fogalomhoz jutunk: a kis induktív dimenzióhoz (ind(X)) illetve a nagy induktív dimenzióhoz (Ind(X)).
Definíció
Kis induktív dimenzió
Az topologikus tér kis induktív dimenziója így definiálható:
- , ha minden pontra és minden nyílt környezetéhez van -nek nyílt környezete, hogy , és .
- , ha és nem
- , ha nincs , amire az egyenlőtlenség fennáll.
Nagy induktív dimenzió
Ha a kis induktív dimenzió definíciójában az pontot egy tetszőleges zárt halmazzal helyettesítjük, akkor a nagy induktív dimenzió fogalmához jutunk. Pontosabban: az topolgikus tér nagy induktív dimenziója így definiálható:
- , ha minden halmazhoz, és minden környezetéhez van -nak egy nyílt környezete, hogy és .
- , ha és nem
- , ha nincs , amire az egyenlőtlenség teljesül.
Megfigyelések
- Az állítás formálisan így írható fel: minden pontnak van olyan környezetbázisa, ami kis induktív dimenziós határú zárt halmazokból áll. Mivel minden pontnak kell, hogy zárt környezetekből álló környezetbázisa van, ezért a fogalomnak csak reguláris terekben van értelme.
- Az állítás így formalizálható: minden diszjunkt zárt halmaznak van és nyílt környezete, hogy , és . Mivel ez az állítás felteszi, hogy teljesül az elválasztási axióma, ezért a fogalomnak csak normális terekben van értelme.
- Míg a kis induktív dimenzió a tér pontjaira is értelmes, addig a nagy induktív dimenzió csak az egész térre vonatkoztatható, a pontokra nem.
Tételek
Egyenlőtlenségek
Ha metrikus tér, akkor M. Katětov tétele szerint
.
P. S. Alexandrov egy tétele miatt a kompakt Hausdorff-tereken:
.
Szeparábilis (megszámlálható bázisú) metrikus terekre egyenlőség áll fenn:
.
K. Nagami konstruált egy normális teret, amire , és .
Kompaktifikáció
Jelölje azt a legbővebb kompakt Hausdorff-teret, ami -et sűrű altérként tartalmazza (Stone-Čech-kompaktifikáció). Ekkor
- N. Wendenisow: Ha normális, akkor .
- J. R. Isbell: Ha normális, akkor .
- A kis indukcióra nem teljesülnek a fentiekkel analóg állítások.
Részhalmaztétel
és teljesítik a teljes metrikus terek részhalmaztételét:
- Ha teljes normális tér, és , akkor , és .
Összegtétel
Ind eleget tesz a teljes normális terek összegtételének:
- C. H. Dowker: Ha teljes normális tér, és zárt halmazok sorozata, hogy , akkor .
- Nem teljes normális terekre a tétel állítása nem teljesül sem a kis, sem a nagy induktív dimenzióra, még a kompakt Hausdorff-terekre sem.
Szorzattétel
Akkor mondjuk, hogy egy dimenziófogalom eleget tesz a szorzattételnek, ha két tér szorzatterének dimenziója becsülhető a tényezők dimenzióinak összegével:
.
- Ha és nem üres reguláris Hausdorf-tér, akkor .
- Egy normális tér perfekt, ha bármely két disjunkten diszjunkt zárt halmazhoz van egy folytonos függvény, hogy és .
Ha perfekt normális tér, metrizálható és egyik sem üres, akkor .
- A dimenzióra hasonlóak igazak: ha és is metrizálható, vagy ha parakompakt, és kompakt.
Források
- Keiô Nagami: Dimension Theory, Academic Press (1970)
![]() | Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |