Hiperbola (matematika)
![]() | Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Hiperbola (egyértelműsítő lap). |
![Hiperbola](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/HyperbolaRect01.png/300px-HyperbolaRect01.png)
A matematikában hiperbolának azokat a kúpszeleteket nevezik, amelyek úgy jönnek létre, hogy a végtelen kettős kúpot (forgáskúpot) metsző sík mindkét félkúpot metszi (a síknak a kúp tengelyével bezárt szöge kisebb, mint a kúp félnyílásszöge és a metsző síkra nem illeszkedik a kúp csúcsa).
A hiperbola úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókusz- vagy gyújtópontoktól) való távolságának különbségének abszolút értéke állandó. A két definíció azonosságának bizonyítását lásd a Dandelin-gömböknél.
A hiperbola a kétdimenziós Descartes-koordináta-rendszerben az alábbiakkal is definiálható:
- és ,
ahol az összes együttható (A,…,F) valós, és több, mint egy (x,y) megoldás létezik. Ekkor ezek az (x,y) megoldások adják meg (koordinátaként) a hiperbola pontjait.
![Hiperbola](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Hyperbool.png/300px-Hyperbool.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Drini-conjugatehyperbolas.png/350px-Drini-conjugatehyperbolas.png)
Definíciók
- A hiperbola a fentieken kívül úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek egy adott ponttól (egyik fókusztól) való távolsága és egy egyenestől (direktrixtől vagy vezéregyenestől) való távolsága hányadosa állandó és nagyobb 1-nél. Ez az állandó a hiperbola excentricitása.
- A hiperbola másik, már említett definíciója: Azon pontok mértani helye, melyek a két fókuszponttól való távolságuk különbségének abszolút értéke állandó. Az ábra jelöléseivel:
- .
A fókuszpontok a hiperbola egyik szimmetriatengelyén fekszenek, a köztük lévő távolság felezőpontját a hiperbola középpontjának nevezzük, a másik szimmetriatengely az elsőre a középponton átmenő merőleges egyenes.
A hiperbolának két, egymást nem metsző és nem érintő ága van. Minden határon túl növekvő távolságra fókuszoktól a hiperbola egy egyeneshez tart, melyet aszimptotának hívnak.
Konjugált hiperboláknak azokat nevezik, melyeknek aszimptotái megegyeznek, csak az aszimptoták különböző oldalain helyezkednek el.
A konjugált hiperbola speciális esete az egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú hiperbola, melynél az aszimptoták által bezárt szög derékszög. Annak az egyenlő szárú hiperbolának az egyenlete, melynek aszimptotái a koordinátatengelyekre esnek: xy=c, ahol c állandó.
Ahogy a szinusz és koszinusz függvényekkel az ellipszis egy parametrikus egyenletrendszerét lehet felírni, a szinusz hiperbolikusz és koszinusz hiperbolikusz függvények a hiperbola parametrikus egyenletrendszerét adják.
Egyenletek
Descartes koordinátákkal
Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:
Észak-dél irányban nyitott hiperbola
Mindkét képletben (h,k) a hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely (a két ág közötti távolság fele) és b a fél-kistengely. Megjegyezzük, hogy b lehet nagyobb, mint a.
Az excentricitás:
A kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola fókuszpontjai:
és ugyanez észak-dél irányban nyitott hiperbolára:
- ahol
Egyenlő szárú hiperbolák egyenlete, melyek aszimptotái párhuzamosak a koordináta tengelyekkel:
Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:
Észak-dél irányban nyitott hiperbola
Északkelet-délnyugat irányban nyitott hiperbola
Északnyugat-délkelet irányban nyitott hiperbola
Az összes egyenletben a középpont az origóban van és a a fél-nagytengely.
Parametrikus egyenletek
Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:
- vagy
- vagy
Észak-dél irányban nyitott hiperbola
- vagy
- vagy
Mindkét egyenletben (h,k) hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely, b a fél-kistengely.
Források
- I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.)
- Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1961.)
További információk
![Commons:Category:Hyperbolas](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/50px-Commons-logo.svg.png)
- Egységhiperbola
- Kúpszelet
- Konjugált hiperbola
- Mathworld – Hiperbola
Kapcsolódó szócikkek
- Ellipszis
- Parabola
- Kör
- Dandelin-gömb