Egy adott függvényen való hibaterjedés két változó esetén. A származtatott mennyiség szórását alapvetően befolyásolja az függvény deriváltja a változó középértéke helyén. A lineáris közelítés akkor jogos, ha a (sárga) és a deriváltja (zöld szaggatott) nem térnek el egymástól számottevően a változó átlaga körüli környezeten belül
A statisztikában hibaterjedésnek nevezik a származtatott mennyiségek hibájának az alapul szolgáló mennyiségek hibájától való függését, illetve magát a matematikai módszert, mellyel a származtatott mennyiségek hibáját becslik. A hibaterjedés figyelembe vétele a fizikában is gyakran használatos, ha például hibával terhelt mért mennyiségekből valamilyen összefüggés segítségével származtatott új mennyiség hibáját határozzák meg.
Például ha egy, az Ohm-törvénynek engedelmeskedő áramköri rendszeren mérjük az átfolyó áramot, és annak bizonytalanságát, továbbá az első feszültséget, és annak bizonytalanságát, akkor az ellenállás meghatározására szolgáló összefüggés és a hibaterjedés figyelembe vételével a származtatott ellenállás bizonytalansága jól közelíthető. Egyes esetekben, például alakú összefüggés esetén hibája egzakt módon is kifejezhető, de általában sorfejtésen alapuló, lineáris közelítést alkalmaznak.
A hibaterjedés jellegét alapvetően az alábbiak határozzák meg:
A kiinduló mennyiségek bizonytalanságának összefüggése illetve függetlensége befolyásolja a származtatott mennyiség hibájának számolását.
A származtatott mennyiség kifejezését megadó összefüggés jellege befolyásolja, hogy mely mért mennyiségek hibája milyen mértékben járul hozzá a származtatott hibához.
Számolási módja
Lineáris kombináció esetén
A hibaterjedés matematikai jellemzése abban az esetben egyszerűbb, ha a származtatott változót megadó összefüggés a kiindulási változóknak lineáris kombinációja. Ezért ezzel az esettel külön érdemes foglalkozni. Legyen m elemű halmaz minden eleme olyan függvény, mely változók lineáris kombinációjaként áll elő együtthatókkal, ahol , azaz:
Az függvény kovarianciamátrixa ezzel úgy adható meg, hogy:
, illetve mátrixjelöléssel: .
A fenti általános összefüggés megengedi a változók közti korrelációt is. Ha azonban az változók hibája egymástól független, a fenti összefüggés egyszerűbb alakba írható:
,
ahol az v vektor k-adik elemének szórásnégyzete.
Skalárértékű függvényre ismét egyszerűbb összefüggést kapunk:
,
,
ahol a sorvektor. A kovarianciák kifejezhetők a szórásokkal és a megfelelő Pearson-féle korrelációs együtthatóval: , melyből következik a származtatott szórásnégyzet egy másik kifejezése:
,
mely független változók esetén:
Még speciálisabb esetet képvisel a több, megegyező szórású változó egyenlő együtthatójú kombinációja esetén megadható
.
Nemlineáris összefüggéseknél
Ha az f az x változók nemlineáris függvénye, akkor csak egyes esetekben adható meg pontos hibaszámítási formula, de általában például úgy közelíthető a származtatott mennyiség hibája, hogy az függvényt az alábbiak szerint lineáris tagig Taylor-sorba fejtjük:
,
ahol az függvény szerinti parciális deriváltjának átlagánál felvett értékét jelöli. Mátrixjelöléssel:
ahol a Jacobi-mátrix. Mivel konstans, ezért nem járul hozzá hibájához. Ezzel tehát a lineáris kombinációra levezetett hibaterjedést kapjuk vissza azzal a különbséggel, hogy az együtthatók helyébe a parciális deriváltak áltagnál felvett értékei lépnek, így:[1]
Tehát a függvény Jacobi-matrixával fejezhető ki az -k kovarianciamátrixának transzformációja.
Gauss-hibaterjedési formula
A mérnöki gyakorlatban és az alkalmazott kutatásban gyakran élnek azzal a közelítéssel a nemlineáris hibájának becslésére, hogy változók függetlenek. Ekkor ugyanis az alábbi, könnyen kezelhető hibaterjedési összefüggés írható fel:
ahol az szórása, pedig az szórása. Mivel a fenti összefüggés a sorfejtés lineáris tagjának megtartásán, a többi tag elhagyásán alapul, ezért a származtatott hiba mértékét csak közelíti. Általában azt mondhatjuk, hogy a közelítés elég jó, ha az szórások nem olyan nagyok, hogy az lineáris közelítése egy sugarú környezetében nem tér el számottevően -től.[2]
Gyakori példák
Az alábbi táblázat a relatív szórásokkal és kovarianciával jellemzett valószínűségi változókra vonatkozó néhány egyszerű és tipikus összefüggés esetén levezetett hibaszámolást foglalja össze.
Összefüggés
Szórásnégyzet
Szórás
[3][4]
[5]
[6]
[6]
[7]
Ha az változók függetlenek, azaz a korrelációs együtthatójuk nulla () akkor alapján a kovarianciájuk is nulla: .
Függetlenségnél és az összefüggés esetén a szórásnégyzet kifejezésére a Goodman-formula is alkalmazható:[8]
,
melyből a származtatott mennyiség szórásnégyzete:
Jegyzetek
↑Ochoa1,Benjamin; Belongie, Serge "Covariance Propagation for Guided Matching" Archiválva 2011. július 20-i dátummal a Wayback Machine-ben
↑Clifford, A. A.. Multivariate error analysis: a handbook of error propagation and calculation in many-parameter systems. John Wiley & Sons (1973). ISBN 0470160551
↑A Summary of Error Propagation. [2016. december 13-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. április 4.)
↑Propagation of Uncertainty through Mathematical Operations. (Hozzáférés: 2016. április 4.)
↑Strategies for Variance Estimation. (Hozzáférés: 2013. január 18.)
↑ abHarris, Daniel C. (2003), Quantitative chemical analysis (6th ed.), Macmillan, p. 56, ISBN 0-7167-4464-3, <https://books.google.com/books?id=csTsQr-v0d0C&pg=PA56>
↑Error Propagation tutorial. Foothill College, 2009. október 9. (Hozzáférés: 2012. március 1.)
↑Goodman, Leo (1960). „On the Exact Variance of Products”. Journal of the American Statistical Association55 (292), 708–713. o. DOI:10.2307/2281592.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Propagation of uncertainty című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Források
Szakkönyvek
Szatmáry Zoltán. Mérések kiértékelése – Egyetemi jegyzet [archivált változat] (PDF), Budapest: BME TTK (2010). Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 31. [archiválás ideje: 2016. március 27.]
Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok
Error analysis (megoldott példák) (angol nyelven). http://lectureonline.cl.msu.edu. [2017. szeptember 8-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)
A fizikai mérések hibája (Egyetemi laboratóriumi segédanyag) (PDF). Fizipédia. BME. (Hozzáférés: 2017. szeptember 4.)