Hamel-dimenzió
A Hamel-dimenzió a lineáris algebrában használatos dimenziófogalom, amely azt próbálja megragadni, hány egymástól független irány létezik. Informálisan egy tér Hamel-dimenziója n, ha legalább ennyi irány szükséges ahhoz, hogy csak ezekben az irányokban (előre vagy hátra) mozogva a tér bármely pontjába eljuthassunk.
Definíció
Egy V vektortér dimenziója tetszőleges bázisának elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel biztosítja, miszerint bármely két bázis azonos számosságú. Jelölés .
Definíció alapján, ha V={0}, azaz a 0 tér esetén a dimenzió 0.
Ha a kiválasztási axióma teljesül, akkor minden vektortérnek van bázisa; ha gyengébb változata, az ultrafilter-lemma teljesül, akkor egy vektortér minden bázisa azonos számosságú. Ez alapján a definíció végtelen dimenziós vektorterekre is konzisztens.
Példák
- a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot.
- Fn dimenziója n, míg Fn × k-é nk.
- a legfeljebb k-adfokú polinomok k+1 dimenziós alteret feszítenek ki.
- az F feletti polinomok vektortere megszámlálhatóan végtelen dimenziós.
- a valós függvények tere kontinuum dimenziós.
Tulajdonságok
- Ekvivalens feltételek
V ≠ 0 vektortér, n ∈ N+
- dim V = n
- V-ben a maximálisan független vektorok száma: n
- V-ben a minimális generátorrendszer n elemű.
Altér dimenziója
- Ha vektortér, , akkor .
- Véges dimenziós vektortérre, ha , akkor .
Rang
- Az a1,…,an vektorrendszer rangja r, ha az n vektor között a maximálisan független vektorok száma r.
Tulajdonságok
- Az a1,…,an vektorok által generált altér dimenziója
Lásd még
- Lineáris leképezés
- Tenzor
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap