Hányadosszabály

A matematikában a hányadosszabály egy módszer arra, hogyan lehet egy függvény deriváltját megtalálni, ahol a függvény két másik deriválható függvény hányadosa.^[1][2][3]

Ha az ${\displaystyle f(x)}$ differenciálandó függvény felírható

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

alakban, ahol ${\displaystyle h(x)\not =0}$,

akkor a szabály szerint a ${\displaystyle g(x)/h(x)}$ deriváltja:

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}$

Még pontosabban, ha egy nyílt halmazban minden x tartalmaz egy a számot, mely kielégíti a ${\displaystyle h(x)\not =0}$ feltételt, továbbá ${\displaystyle g'(a)}$ és ${\displaystyle h'(a)}$ létezik, akkor ${\displaystyle f'(a)}$ is létezik, és

${\displaystyle f'(a)={\frac {h(a)g'(a)-h'(a)g(a)}{[h(a)]^{2}}}.}$

Ez kiterjeszthető a második deriváltra is (ez bizonyítható ha kétszer vesszük a ${\displaystyle f(x)=g(x)(h(x))^{-1}}$ deriváltját).

Az eredmény:

${\displaystyle f''(x)={\frac {g''(x)[h(x)]^{2}-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^{4}}}.}$

A hányadosszabály levezethető a szorzatszabályból, és a láncszabályból.

${\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)}$ deriváltja:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}$.

A fenti példában:

${\displaystyle g(x)=4x-2}$

${\displaystyle h(x)=x^{2}+1}$

Hasonlóképpen a sin(x)/x² deriváltja (ha x ≠ 0):

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}$

A hányados-szabály nem használható olyan pontokban, ahol a számláló, vagy a nevező nem differenciálható. Az lehetséges, hogy a hányados differenciálható ezekben a pontokban:

Például, tekintsük a következő függvényt:

${\displaystyle f(x)={\frac {|x|+1}{|x|+1}},}$

ahol |x|, x abszolút értéke.

A függvény értéke természetesen f(x) = 1, úgyhogy mindenhol differenciálható, és f'(0) = 0. Ha megpróbáljuk a hányados-szabályt alkalmazni a f'(0)-ra, akkor egy definiálhatatlan érték jönne ki, mivel |x| nem differenciálható x = 0-nál.

A tétel algebrai bizonyítása^[4]

Tekintsük az alábbi egyenletet:

${\displaystyle {\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}$

majd:

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}$

ez vezet a következő egyenlőségre:

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)\right]}$.

A szorzások elvégzése után:

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]}$

végül közös nevezőre hozva megkapjuk az eredményt:

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}}$

A szorzatszabály szorzatok (2 vagy több függvény szorzatánál) deriváltjának kiszámítására használható. Legyen ${\displaystyle y={\frac {u}{v}}}$.

Kissé átírva:

${\displaystyle y={\frac {u}{v}}=uv^{-1}.}$ A szorzatszabályt és a láncszabályt használva a differenciáláshoz:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=u'v^{-1}-v^{-2}uv'={\frac {u'}{v}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}$

Megszorozva az első tört számlálóját és nevezőjét ${\displaystyle v}$-vel, kapjuk:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {vu'}{v^{2}}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}={\frac {vu'-uv'}{v^{2}}}}$,

ami a hányadosszabály.

• James Stewart: Calculus: Early Transcendentals. 6th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5  
• Ron Larson – Bruce H. Edwards: Calculus. 9th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4  
• Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L – Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

• Lánc-szabály
• Szorzatszabály
• Derivált
• Reciprokszabály