Gyökfüggvény

A gyökfüggvény a matematikában egy olyan függvény, amit egy gyökvonással és alapműveletekkel lehet képezni. Általános alakja ${\displaystyle a{\sqrt[{n\,}]{x+b}}+c}$, ahol ${\displaystyle n>1}$ egész szám, ${\displaystyle a,b,c}$ valós számok.

Mivel a valós számok négyzete sosem negatív, azért nem lehet négyzetgyököt vonni negatív számból. Hasonló teljesül minden páros kitevőjű gyökre is. Az értelmezési tartomány szempontjából fontos megjegyezni, hogy ha a kitevő páros, akkor a gyökjel alatt nemnegatív számnak kell állnia. Ha a kitevő páratlan, akkor a negatív számokból is vonható gyök, tehát nincs akadálya a valós számokon való értelmezésnek.

Az alap négyzetgyökfüggvény a nemnegatív számokon értelmezett nemnegatív értékű függvény. Maximuma nincs, minimuma a nullában van; a minimum értéke nulla. Szigorúan monoton növő konkáv függvény. Képe egy fekvő parabola fele, mivel egy teljes parabola két értéket adna, amiből konvenció szerint a nemnegatívat tekintjük csak négyzetgyöknek. Magasabb páros kitevőjű alap gyökfüggvények hasonlóan néznek ki, de a parabola (mint kúpszelet) helyett a megfelelő hatványfüggvény grafikonját kell megfelezni és tükrözni az ${\displaystyle x=y}$ egyenesre.

Az alap páratlan fokú gyökfüggvény a valós számokon értelmezett valós értékű függvény, melynek nincsenek szélsőértékei. Szigorúan monoton nő. Konkáv a ${\displaystyle [-\infty ,0]}$ és konvex a ${\displaystyle [0,\infty ]}$ szakaszon. Képe a megfelelő hatványfüggvény grafikonja tükrözve az ${\displaystyle x=y}$ egyenesre.

Általános esetben az ${\displaystyle a}$ a nyújtás mértéke. Ha előjele negatív, akkor tükrözni kell az ${\displaystyle x}$ tengelyre. Ha ${\displaystyle b}$ pozitív, akkor balra, ha negatív, akkor balra kell tolni. Ezzel az eltolással az értelmezési tartományt is el kell mozgatni. Ha ${\displaystyle c}$ pozitív, akkor felfelé, ha negatív, akkor lefelé kell tolni. Ezzel az eltolással az értékkészletet is el kell mozgatni.

A gyökfüggvények alkalmazhatók egyenletek megoldására és mértani sorozatokkal való foglalkozásra. Matematikán kívüli alkalmazásokra példa a kamatszámítás, az inga és a harmonikus rezgőmozgás periódusidejének számítása.

• Rapp Tamás: 5. tétel. Gyökvonás, gyökfüggvények és tulajdonságaik
• Koczog András: Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig