Gauss-összeg

 Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Gauss-összeg a számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha p {\displaystyle p} páratlan prímszám, ω = cos ⁡ ( 2 π p ) + i sin ⁡ ( 2 π p ) {\displaystyle \omega =\cos \left({\frac {2\pi }{p}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{p}}\right)} az „első” p-edik egységgyök, akkor a

G = ∑ k = 0 p − 1 ω k 2 {\displaystyle G=\sum _{k=0}^{p-1}\omega ^{k^{2}}}

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy G {\displaystyle G} értéke p {\displaystyle {\sqrt {p}}} vagy − p {\displaystyle -{\sqrt {p}}} ha p {\displaystyle p} 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és i p {\displaystyle i{\sqrt {p}}} vagy − i p {\displaystyle -i{\sqrt {p}}} ha p {\displaystyle p} 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig p {\displaystyle {\sqrt {p}}} illetve i p {\displaystyle i{\sqrt {p}}} . Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész N {\displaystyle N} számra, ha

ω = cos ⁡ ( 2 π N ) + i sin ⁡ ( 2 π N ) {\displaystyle \omega =\cos \left({\frac {2\pi }{N}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{N}}\right)}

akkor

∑ k = 1 N ω k 2 = { N ha  N ≡ 1 ( mod 4 ) 0 ha  N ≡ 2 ( mod 4 ) i N ha  N ≡ 3 ( mod 4 ) ( 1 + i ) N ha  N ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\omega ^{k^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {N}}&{\mbox{ha }}N\equiv 1{\pmod {4}}\\0&{\mbox{ha }}N\equiv 2{\pmod {4}}\\i{\sqrt {N}}&{\mbox{ha }}N\equiv 3{\pmod {4}}\\(1+i){\sqrt {N}}&{\mbox{ha }}N\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}

Gauss vizsgálta a

G 3 = ∑ k = 1 p ω k 3 {\displaystyle G_{3}=\sum _{k=1}^{p}\omega ^{k^{3}}}

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} , akkor 4 p = A 2 + 27 B 2 {\displaystyle 4p=A^{2}+27B^{2}} alakban írható, és ha kikötjük, hogy A ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle A\equiv 1{\pmod {3}}} legyen, akkor G 3 {\displaystyle G_{3}} gyöke az irreducibilis x 3 − 3 p x − A p {\displaystyle x^{3}-3px-Ap} polinomnak.