Fürstenberg-topológia

A Fürstenberg-topológia egy Hillél Fürstenberg által 1955-ben konstruált topológia az egész számok halmazán. A konstrukció gyakorlati jelentősége csekély; inkább azért említésre méltó, mert segítségével topológiai eszközökkel bizonyítható, hogy végtelen sok prímszám létezik. A prímszámok halmazának végtelensége már Eukleidész előtt is ismert volt, ő azonban kézenfekvő módon, algebrai-számelméleti eszközökkel bizonyította az állítást. Jóval később, a 19. században a prímszámtétel egyszerű következményeként a matematikai analízis eszközeit felhasználó bizonyítás is született. Azonban a számelmélet és a topológia a matematikának egymástól távol eső ágai, így váratlan, meglepő és érdekes tény, hogy egy alapvető számelméleti tényt topológiai eszközökkel is igazolni lehet.

Tetszőleges ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ egész számra jelölje ${\displaystyle \ N_{b}(a)}$ az ${\displaystyle \{a+bj|j\in \mathbb {Z} \}}$ számtani sorozatot. A Fürstenberg-topológiában nyíltnak nevezünk egy ${\displaystyle G\subset \mathbb {Z} }$ halmazt, ha minden ${\displaystyle a\in G}$ számra létezik olyan ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$, hogy ${\displaystyle N_{b}(a)\subset G}$. Az üres halmaz és maga ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ így nyíltak, két nyílt halmaz metszete maga is nyílt és nyíltak uniója szintén nyílt, ezért a nyíltnak definiált halmazok valóban topológiát alkotnak. A Fürstenberg-topológia tehát az egész számokból álló, mindkét irányban végtelen számtani sorozatok által generált topológia ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ elemein.

A Fürstenberg-topológiában minden nemüres nyílt halmaz végtelen. Egy véges halmaz komplementere tehát nem lehet zárt.

${\displaystyle N_{b}(a)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}N_{b}(a+j)}$,

tehát ${\displaystyle \ N_{b}(a)}$ előáll egy nyílt halmaz komplementereként, így egyben zárt is.

Jelölje ${\displaystyle \mathbb {P} }$ a prímszámok halmazát. Tetszőleges ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$-re ${\displaystyle \ N_{p}(0)}$ éppen a ${\displaystyle p}$ többszöröseiből álló halmaz. Mivel az ${\displaystyle 1}$-en és a ${\displaystyle -1}$-en kívül minden egész szám előáll egy prím többszöröseként,

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }N_{p}(0).}$

Ha véges sok prímszám volna, akkor a jobb oldalon zárt halmazok véges uniója állna, amely így maga is zárt volna. De ez nem lehetséges, mert a bal oldalon egy véges halmaz komplementere áll, amely így nem zárt. Tehát végtelen sok prímszám van.

• H. Fürstenberg (1955). „On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly 62 (353).  

• Aigner, Martin, Günter M. Ziegler. Bizonyítások a Könyvből (magyar nyelven). Budapest: Typotex Kiadó (2004). ISBN 963-9548-00-6