Evolvens
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Animated_involute_of_circle.gif/200px-Animated_involute_of_circle.gif)
Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.
Analitikailag: ha a függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis minden s-re), akkor
az evolvens parametrikus alakja:
Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:
Példák
Körevolvens
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Involut_cir.jpg/200px-Involut_cir.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Evolvens.jpg/200px-Evolvens.jpg)
A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár
A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:
Ahol t a szög és a a kör sugara.
A körevolvens ívhossza:
A görbületi kör sugara:
Az APO szektor területe:
Az x tengelyt a görbe az abszcisszánál metszi, ahol a egyenlet gyöke.[1]
A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:
ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt ra az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.[2]
Láncgörbe evolvense
A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:
ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.
Deriváltja:
Mivel írhatjuk, hogy és
behelyettesítve kifejezést:
Ciklois evolvense
A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:
ahol t a szög és a sugár.
Evolúta
Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a görbe a görbének evolútája, akkor a görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól.[3] Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.
Kapcsolódó szócikkek
Külső hivatkozások
![Commons:Category:Involute](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/50px-Commons-logo.svg.png)
- Mathworld
Források
- ↑ Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
- ↑ Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 3. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
- ↑ J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091