Evolvens

Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.

Analitikailag: ha a ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis ${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$ minden s-re), akkor

az evolvens parametrikus alakja:

${\displaystyle t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)}$

Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:

${\displaystyle X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:

${\displaystyle x={\frac {}{}}a(\cos t+t\sin t)}$

${\displaystyle y={\frac {}{}}a(\sin t-t\cos t)}$

Ahol t a szög és a a kör sugara.

A körevolvens ívhossza:

${\displaystyle s={\widehat {AP}}={\frac {\rho ^{2}}{2a}}={\frac {at^{2}}{2}}={\frac {r^{2}-a^{2}}{2a}}}$

A görbületi kör sugara:

${\displaystyle \rho ={\overline {PT}}=at\,}$

Az APO szektor területe:

${\displaystyle T={\frac {a^{2}t^{3}}{6}}={\frac {\rho s}{3}}}$

Az x tengelyt a görbe az ${\displaystyle x={\frac {a}{\cos \varphi _{0}}}}$ abszcisszánál metszi, ahol ${\displaystyle \varphi _{0}}$ a ${\displaystyle \tan \varphi =\varphi }$ egyenlet gyöke.^[1]

A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:

${\displaystyle {\text{inv}}\alpha ={\frac {}{}}\tan \alpha -\alpha }$

${\displaystyle r={\frac {r_{a}}{\cos \alpha }}}$

ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt r_a az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.^[2]

A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:

${\displaystyle x=t-\tanh(t)\,}$

${\displaystyle y={\rm {sech(t)\,}}}$

ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.

Deriváltja:

Mivel ${\displaystyle r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,}$ írhatjuk, hogy ${\displaystyle r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,}$ és

${\displaystyle r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})}$

behelyettesítve ${\displaystyle t={\sqrt {1-y^{2}}}/y}$ kifejezést: ${\displaystyle ({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)}$

A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:

${\displaystyle x=a(t+\sin(t))\,}$

${\displaystyle y=a(3+\cos(t))\,}$

ahol t a szög és a sugár.

Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ görbe a ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ görbének evolútája, akkor ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ a ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól.^[3] Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.

• Fogaskerék

A Wikimédia Commons tartalmaz Evolvens témájú médiaállományokat.

• Mathworld