Eltolási tétel

Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.

Legyenek ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ valós számok, és számtani közepüket jelölje ${\displaystyle {\overline {x}}}$. Ekkor

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}$.

Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes ${\displaystyle x_{i}}$-t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha ${\displaystyle {\overline {x}}^{2}}$ sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő ${\displaystyle {\tilde {x}}\approx {\overline {x}}}$ becslés:^[1]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\tilde {x}})^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\tilde {x}})\right)^{2}}$.

A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.^[1]

A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:

${\displaystyle 505,500,495,505}$

Az átlagos súly:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {505+500+495+505}{4}}=501{,}25}$

A négyzetes eltérések összege:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=(505-501{,}25)^{2}+(500-501{,}25)^{2}+(495-501{,}25)^{2}+(505-501{,}25)^{2}\\&=14{,}0625+1{,}5625+39{,}0625+14{,}0625\\&=68{,}75\,.\end{aligned}}}$

További számítások a tétel alkalmazásához:

${\displaystyle q_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=505+500+495+505=2.005}$

${\displaystyle q_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=255.025+250.000+245.025+255.025=1.005.075}$

${\displaystyle Q=q_{2}-{\frac {1}{4}}q_{1}^{2}=68{,}75}$

Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{4-1}}68{,}75\approx 22{,}9\,.}$

mivel

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}Q\,,}$

Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a ${\displaystyle q_{1}}$ és ${\displaystyle q_{2}}$ összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor

${\displaystyle q_{1}^{\text{új}}=q_{1}+510=2.005+510=2.515\,,}$

${\displaystyle q_{2}^{\text{új}}=q_{2}+510^{2}=1.005.075+260.100=1.265.175\,,}$ végül

${\displaystyle Q^{\text{új}}=q_{2}^{\text{új}}-{\frac {1}{5}}\left(q_{1}^{\text{új}}\right)^{2}=130\,.}$

Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet

${\displaystyle s_{\text{új}}^{2}={\frac {1}{5-1}}Q^{\text{új}}=130/4=32{,}5\,.}$

Két valószínűségi változó, ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk

${\displaystyle s_{xy}:=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})\ .}$

Eltolási tétellel

${\displaystyle s_{xy}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}\ .}$

A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája

${\displaystyle s_{xy}^{*}={\frac {1}{n-1}}s_{xy}\ .}$

Egy valószínűségi változó szórásnégyzete

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}$

az eltolási tétellel^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}\ ,}$

ami König-Huygens-tételként ismert.

A várható érték linearitásával

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\bigr )}&=\operatorname {E} {\bigl (}X^{2}-2X\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)^{2}{\bigr )}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} {\bigl (}2X\operatorname {E} (X){\bigr )}+\operatorname {E} {\bigl (}\operatorname {E} (X)^{2}{\bigr )}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}.\end{aligned}}}$

Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left((X-c)^{2}\right)-\left(\operatorname {E} (X)-c\right)^{2},\quad c\in \mathbb {R} }$.

Ha ${\displaystyle X}$ diszkrét valószínűségi változó az ${\displaystyle x_{i},\,i=1,\dots ,n}$ lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó ${\displaystyle \operatorname {P} (X=x_{j})=p_{j}}$ valószínűségekkel, akkor

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\sum _{j}p_{j}\left(x_{j}-\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}x_{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}\ .}$

Speciálisan, ha ${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{n}}}$, akkor ${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}}$, és a fenti képlettel

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}^{2}-{\overline {x}}^{2}.}$

Ha ${\displaystyle X}$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f}$, akkor

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\operatorname {E} (X))^{2}\,f(x)\,\mathrm {d} x\ .}$

Az eltolási tétellel

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x-\operatorname {E} (X)^{2}\ .}$

Két valószínűségi változó, ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ kovarianciája

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))\cdot (Y-\operatorname {E} (Y)))}$

Az eltolási tétellel

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}$

Diszkrét esetben

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}(x_{j}-\operatorname {E} (X))(y_{k}-\operatorname {E} (Y))\cdot f(x_{j},y_{k})}$

illetve

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}x_{j}\,y_{k}\,f(x_{j},y_{k})-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)\ ,}$

ahol ${\displaystyle f(x_{j},y_{k})}$ a közös valószínűségi tömegfüggvény, az ${\displaystyle X=x_{j}}$ és ${\displaystyle Y=y_{k}}$ valószínűségi tömegfüggvényekkel.

Folytonos esetben legyen ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ közös sűrűségfüggvénye az ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ helyen. Ekkor a kovariancia

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x-\operatorname {E} (X))(y-\operatorname {E} (Y))\cdot f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$

illetve

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xy\,f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)\,}$

A legegyszerűbb esetben adottak az ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\ ,}$

ahol

${\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}$

a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:^[3]

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)+n{\overline {x}}^{2}}$

${\displaystyle \quad =\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}\cdot n{\overline {x}}+n{\overline {x}}^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}}$.

• Ausführliche Berechnungen für den diskreten und stetigen Fall a www.mathebibel.de helyen