Elliptikus hengerkoordináta-rendszer

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer harmadik, merőleges tengely menti vetítésével kapható. Koordinátafelületei elliptikus és hiperbolikus hengerek. Az ${\displaystyle F_{1}}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ fókuszokat az adott Descartes-féle koordináta-rendszer ${\displaystyle x}$-tengelyén veszik fel, rendre a ${\displaystyle -a}$ és ${\displaystyle +a}$ pontokban.

A ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$ elliptikus hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }$

${\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

${\displaystyle z=z}$

ahol ${\displaystyle \mu }$ nemnegatív valós szám, és ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ]}$. Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans ${\displaystyle \mu }$-höz tartozó görbék ellipszisek, míg az

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans ${\displaystyle \nu }$-höz tartozó görbék hiperbolák.

A ${\displaystyle \mu }$ és ${\displaystyle \nu }$ elliptikus hengerkoordináták skálázási tényezői megegyeznek:

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

és a harmadik skálázási tényező ${\displaystyle h_{z}=1}$. Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

${\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Néha egy másik koordinátahármast használnak, ami geometriailag is intuitív. Megkülönböztetésül jelölésük ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$, és kaphatók, mint ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ és ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. A konstans ${\displaystyle \sigma }$-hoz tartozó görbék ellipszisek, a konstans ${\displaystyle \tau }$-hoz tartozók hiperbolák. A ${\displaystyle \tau }$ koordináta a [-1, 1] intervallum eleme, míg a ${\displaystyle \sigma }$ koordináta legalább 1.

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az ${\displaystyle F_{1}}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ fókuszoktól mért távolsággal. Az (x,y) sík pontjaira teljesül, hogy a fókuszoktól mért ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ távolságösszeg egyenlő ${\displaystyle 2a\sigma }$-val, míg a ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ különbség megegyezik ${\displaystyle 2a\tau }$-val. Így az ${\displaystyle F_{1}}$-től mért távolság ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, az ${\displaystyle F_{2}}$-től mért távolság ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$.

Az alternatív definíció hátránya: nem lehet egy-egyértelműen megfeleltetni a Decartes-koordinátarendszerrel:

${\displaystyle x=a\sigma \tau }$

${\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}$

A ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}$ alternatív koordináták skálázási tényezői:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

és ${\displaystyle h_{z}=1}$. Az infinitezimális térfogatelem

${\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Az elliptikus hengerkoordináta-rendszert hagyományosan parciális differenciál-egyenletek megoldására használják, például Laplace egyenletének vagy a Helmholtz-egyenlet megoldására, ahol is az elliptikus hengerkoordináta-rendszer lehetővé teszi a változók szétválasztását. Egy tipikus példa egy ${\displaystyle 2a}$ vastagságú lapos vezető lap elektromos mezője.

A háromdimenziós hullámegyenlet elliptikus hengerkoordinátákkal kifejezve megoldható a változók szétválasztásával, ami a Mathieu-differenciálegyenleteket adja.

Az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is hasznosak lehetnek. Egy tipikus példa azokon a ${\displaystyle \mathbf {p} }$ and ${\displaystyle \mathbf {q} }$ vektorpárokon vett integrál, melyek összege egy rögzített ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }$ vektor, az integrandus pedig ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ and ${\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}$. Ekkor a koordináta-rendszert úgy veszik fel, hogy ${\displaystyle \mathbf {r} }$ a két fókusz közé essen, és az ${\displaystyle x}$-tengelyen helyezkedjen el, vagyis ${\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }$. Az ${\displaystyle \mathbf {r} }$, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ és ${\displaystyle \mathbf {q} }$ vektorok reprezentálhatják egy részecske és dekompozíciójának momentumát, és az integrandus magában foglalja a mozgási energiát.

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 657. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 182–183. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 179. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 97. o. (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Moon P, Spencer DE. Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 17–20 (Table 1.03). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptic cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.