Az elliptikus hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A sárga hajlított felület egy fél hiperbolikus henger, ami a ν=-45°-nak felel meg, míg a piros cső a μ=1-hez tartozó elliptikus henger. A kék sík a z=1 koordinátához tartozik. A három felület a P pontban metszi egymást, melyet egy fekete gömb jelez. Desacartes.-koordinátái körülbelül (2,182; -1,661; 1,0). Az ellipszisek és hiperbolák fókuszai az x = ±2,0 pontok
A elliptikus hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:
ahol nemnegatív valós szám, és . Ezek a definíciók ellipsziseknek és hiperboláknak felelnek meg. Az
trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans -höz tartozó görbék ellipszisek, míg az
trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans -höz tartozó görbék hiperbolák.
Skálázási tényezők
A és elliptikus hengerkoordináták skálázási tényezői megegyeznek:
és a harmadik skálázási tényező . Eszerint az infinitezimális térfogatelem:
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Alternatív definíció
Néha egy másik koordinátahármast használnak, ami geometriailag is intuitív. Megkülönböztetésül jelölésük , és kaphatók, mint és . A konstans -hoz tartozó görbék ellipszisek, a konstans -hoz tartozók hiperbolák. A koordináta a [-1, 1] intervallum eleme, míg a koordináta legalább 1.
A koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az és fókuszoktól mért távolsággal. Az (x,y) sík pontjaira teljesül, hogy a fókuszoktól mért távolságösszeg egyenlő -val, míg a különbség megegyezik -val. Így az -től mért távolság , az -től mért távolság .
Az alternatív definíció hátránya: nem lehet egy-egyértelműen megfeleltetni a Decartes-koordinátarendszerrel:
Alternatív skálázási tényezők
A alternatív koordináták skálázási tényezői:
és . Az infinitezimális térfogatelem
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Alkalmazások
Az elliptikus hengerkoordináta-rendszert hagyományosan parciális differenciál-egyenletek megoldására használják, például Laplace egyenletének vagy a Helmholtz-egyenlet megoldására, ahol is az elliptikus hengerkoordináta-rendszer lehetővé teszi a változók szétválasztását. Egy tipikus példa egy vastagságú lapos vezető lap elektromos mezője.
A háromdimenziós hullámegyenlet elliptikus hengerkoordinátákkal kifejezve megoldható a változók szétválasztásával, ami a Mathieu-differenciálegyenleteket adja.
Az elliptikus koordináták geometriai tulajdonságai is hasznosak lehetnek. Egy tipikus példa azokon a and vektorpárokon vett integrál, melyek összege egy rögzített vektor, az integrandus pedig and . Ekkor a koordináta-rendszert úgy veszik fel, hogy a két fókusz közé essen, és az -tengelyen helyezkedjen el, vagyis . Az , és vektorok reprezentálhatják egy részecske és dekompozíciójának momentumát, és az integrandus magában foglalja a mozgási energiát.
Források
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 657. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 182–183. o. (1956)
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 179. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961)
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 97. o. (1967)
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
Moon P, Spencer DE. Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 17–20 (Table 1.03). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben az Elliptic cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.