Az ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, a
koordinátákkal. A kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer általánosítása, Szemben a legtöbb használatban levő koordináta-rendszerrel, az ellipszoid koordináta-rendszer konfokális másodfokú felületeken alapul.
Alapképletek
A
ellipszoid koordinátákról a következő képletekkel lehet áttérni az
Descartes-koordinátákra:
![{\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cd21f63bb2e7ea1702204bef202d5ca70b16f1)
![{\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f7da67544d9304d084b778aafed362a2f09d1a)
![{\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41cf78c6d0133ce1883da4bde2265feb3bdf8d8)
ahol az egyes koordinátákra a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:
![{\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb156b67ff5a751b143ad09f12e88b1fd8157e4)
Ebből következően a konstans
-hoz tartozó felületek ellipszoidok:
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8aa0390bbb997dff612a45b0461259436e3973)
míg a konstans
-jű felületek egyköpenyű hiperboloidok
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0baf64c42325c96427062d1f688fa01771b7d33f)
és a konstans
-jű felületek kétköpenyű hiperboloidok
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc9c15cfa9b6e4aaa469416cd0fa99af43f3b70)
Mindezek a felületek konfokális másodfokú felületek.
Skálázási tényezők és differenciáloperátorok
A képletek egyszerűsítésére bevezetjük a következő jelölést:
![{\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bab7333675f478157e563e086019d1760ce8287)
ahol
a
koordináták bármelyikét reprezentálhatja. Ezzel a skálázási tényezők:
![{\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed66fafa6d3ed8c64a16bf99884c0ae68ce2b535)
![{\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a187cd3df2e8edfa70281502a0a585b94052b016)
![{\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dcf1a29b2eb4de7e1d30490682210d1c2e68e0)
Eszerint az infinitezimális térfogatelem:
![{\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9815622cb99ad849dea49e00bec25125b9e90e83)
és a Laplace-operátor:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b29295a15a5f7813613f8aac7594720400f50d)
A további differenciáloperátorok, mint
és
kifejezhetők a
koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Szögparaméterezés
Egy alternatív paraméterezés a gömbkoordináták szögparaméterezését követi:[1]
![{\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b00c26e2f706b75463d01d24efcc683832afc29)
![{\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df31a1520199a41a2c544a53fdae4572e7ca55f)
![{\displaystyle z=cs\cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f112d4c5ec2ec3690e17ab6634573878d42869b6)
Ahol
paraméterezi az origó körüli koncentrikus ellipszoidokat, és
illetve
rendre a polárszög és az azimut. A megfelelő térfogatelem:
![{\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d743dea79b6bddb7c85cbbd6bea7f255d587ae9)
Jegyzetek
- ↑ Ellipsoid Quadrupole Moment
Források
- Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 663. o. (1953)
- Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9
- Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 101–102. o. (1967)
- Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 176. o. (1961)
- The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 178–180. o. (1956)
- Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd, 3rd print, New York: Springer Verlag, 40–44 (Table 1.10). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7
- Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics), 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7 Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben az Ellipsoidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.