Egységgyök
A matematikában n-edik komplex egységgyökök azok a z komplex számok, melyekre igaz, hogy
ahol n = 1,2,3,… egy pozitív egész szám.
Egy n-edik egységgyök primitív egységgyök, ha semmilyen k < n, k = 1,2,…,n−1 pozitív egész szám esetén nem k-adik egységgyök.
Komplex egységgyökök
A komplex számok testében az n-edik egységgyökök pontosan az
alakú számok.
Legyen . Ekkor az n-edik egységgyökök alakja:
- .
Ha nyilvánvaló, hogy hányadik egységgyökökről van szó, akkor sokszor elhagyják az alsó indexet.
n-edik primitív egységgyök, ha n-edik hatványa 1, de semmilyen kisebb kitevős hatványa nem az. Az egyik primitív egységgyök
- .
A további primitív egységgyökök n-hez relatív prímkitevős hatványai.
Az n-edik egységgyökök száma n, a primitív n-edik egységgyököké .
A körosztási testek bővítései, amelyek tartalmazzák az egységgyököket: az n-edik körosztási test az n-edik egységgyököket.
Az egységgyökök összege
Ha n-edik egységgyök, akkor:
Ez a mértani sorozatok összegzési képletéből következik.
Mértani helyük a komplex számsíkon
A komplex egységgyökök annak az egységkörbe írt szabályos n-szögnek a csúcsaiban vannak, amelynek egyik csúcsa az 1.
Így a egységgyök valós és képzetes része ezeknek a csúcsoknak a koordinátái, vagyis -re
- és .
Példák
A második egységgyökök: 1 és −1.
A harmadik egységgyökök: ;
A negyedik egységgyökök alakja ismét egyszerűbb: : ,
Az ötödik egységgyökök
A egyenlőség alapján
ahol .
Ezt a negyedfokú egyenletet megoldva adódik. Mivel a szög az 1. negyedben fekszik, azért pozitív, és így . A valós rész ez alapján nyilvánvaló; a képzetes rész Pitagorasz-tétellel adódik.
Körosztási polinom
Az n-edik primitív egységgyökök az n-edik körosztási polinom gyökei. A körosztási polinom megkapható a következőképpen:
Gyűjtsük össze azokat az alakú polinomokat, ahol k < n osztója n-nek. Vegyük ezek legkisebb közös többszörösét. Ekkor van egy polinom, amit -nel szorozva -et kapunk. Ez az polinom az n-edik körosztási polinom. Ezen az úton absztrakt testekhez, sőt gyűrűkhöz is definiálható körosztási polinom azokra az n-ekre, amelyek nem oszthatók a test (gyűrű) karakterisztikájával. Az absztrakt körosztási polinomok nem feltétlenül irreducibilisek, de a racionális számok teste fölöttiek igen.
Egységgyökök absztrakt értelmezése
Legyen egységelemes kommutatív gyűrű, és természetes szám. Egy egységgyök, ha eleget tesz a következő, egymással ekvivalens definíciónak:
- ;
- a polinom gyöke.
Az n-edik -beli egységgyökök részcsoportot alkotnak a gyűrű multiplikatív csoportjában.
Testekben
A testben az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportot alkotnak. Számuk mindig osztója n-nek. Ha egyenlő vele, akkor a test tartalmazza az n-edik egységgyököket. Ekkor a primitív egységgyökök egyike generálja az n-edik egységgyökök ciklikus részcsoportját. Az n-edik primitív egységgyökök a fenti előállítás szerinti körosztási polinom gyökei.
Források
- Szele Tibor: Bevezetés az algebrába
- Fried Ervin: Algebra I–II.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap