Duális számok
A duális számok halmaza a valós számkör bővítése úgy, hogy felveszünk egy ε≠0 elemet, amelyre teljesül az ε2=0 egyenlőség.
Így duális számok azok, amelyek felírhatók alakban.
A duális számok tekinthetők egy egydimenziós vektortér külső algebrájának. Az általános, n dimenziós eset a Grassmann-számokhoz vezet. A komplex számokhoz és a hasított komplex számokhoz hasonlóan a síkalgebra egyik megvalósítása.
Konstrukció
A duális számokat a komplexekhez hasonlóan többféleképpen konstruálhatjuk:
- Rendezett párokként a megfelelő műveletek definiálásával
- Meghatározott alakú mátrixokként a szokásos mátrixszorzással és összeadással
- Legyen
- A mátrixszorzás az ilyen mátrixok között kommutatív:
és
- A gyűrűből, azaz a valósak feletti álló polinomok -tel vett maradékosztályaiból,
- ugyanúgy, ahogyan a komplex számokat tekinthetjük a valósak feletti polinomok -gyel vett maradékosztályainak.
Ezek a definíciók algebrailag ekvivalensek.
Műveletek
Alapműveletek
Összeadás:
Szorzás:
Következmények
Osztás:
- Csak akkor értelmezett, ha Ha c = 0, akkor a duális szám nulla, vagy nullosztó, ezért a duális számok nem alkotnak testet. Ha c nulla, de d nem, akkor az
egyenlet nem oldható meg, ha a nem nulla, és ha nulla, akkor bármely
duális szám megoldás. Így a tisztán duális számok triviális nullosztók, és ideált alkotnak a duális számok gyűrűjében.
Gyökvonás:
- Csak akkor értelmezett, ha
Definíciók
Konjugáció:
- konjugáltjának jele
Algebrai tulajdonságok
A duális számok a fenti definíciókkal kommutatív egységelemes gyűrűt és a valós számok felett algebrát alkotnak. Karakterisztikájuk 0. Algebrájuk kétdimenziós a valós számok fölött. A valós számokkal szemben a duális számok nem alkotnak testet. Ennek akadályai a nullosztók: a 0 + bε alakú elemeknek nem lehet inverzük.
Geometria
Az egységkört azok a duális számok alkotják, ahol a = 1 vagy −1, mivel z z* = 1 ahol z* = a − bε. Ezzel szemben
- ,
így az ε tengelyre alkalmazott exponenciális leképezés csak a kör felét fedi.
Legyen z = a + b ε! Ha a ≠ 0 és m = b /a, akkor z = a(1 + m ε) a z duális szám, és az m meredekség az argumentuma. A forgatás a duális számsíkon tengelypárhuzamos nyírás, mivel (1 + p ε)(1 + q ε) = 1 + (p+q) ε.
Az abszolút téridőben a
- azaz
Galilei-transzformáció a nyugvó koordináta-rendszert a v sebességű mozgó kerettel hozza kapcsolatba. Az egydimenziós tér eseményeit reprezentáló t + x ε duális szám ugyanezt a (1 + v ε)-nal való szorzással fejezi ki.
Adott p és q duális számok meghatározzák a duális számoknak egy halmazát, amiben az egyes elemektől a p és q számokhoz húzott egyenes szakaszok meredeksége konstans. A duális számok síkján ez kör. Mivel az egyenlet, ami konstanssá teszi a meredekségeket, kvadratikus a valós részben, ezek a körök esetleg elfajult parabolák. A ciklikus forgatás a duális számokon egy projektív egyenes mozgásának feleltethető meg. Yaglom szerint[1] a Z = {z : y = α x2} kör invariáns az
- nyírás és az
- eltolás kompozíciójára.
Ez a transzformáció ciklikus forgatás, amivel V. V. Kisil bővebben foglalkozott.[2]
Duális számok és függvények
A duális számokon értelmezhetjük az egész kitevőjű hatványozást, így a polinomokat is.
Ha adott egy polinom, akkor ezt alkalmazhatjuk egy duális számra. Észrevehetjük, hogy , ahol a deriváltja.[3]
Ezt a polinomokról kiterjeszthetjük az valós analitikus függvényekre:
A deriváltak megjelenését az a tulajdonság indokolja, hogy az hasonlóan viselkedik, mint a nemstandard analízisben a végtelenül kicsi mennyiségek, hiszen a négyzetével nem kell tovább számolni, elhagyható.
Néhány függvény a duális számokon
Modulus és argumentum
A komplex számokhoz hasonlóan a duális számokon is értelmezhető a modulus és az argumentum fogalma. A modulust határozzuk meg a konjugált fogalmával:
Ez összhangban van azzal, hogy bizonyos értelemben kicsi.
Az argumentum legyen
Így a komplexekkel analóg módon
Megmarad az a tulajdonság is, hogy szorzásnál az eredmény modulusa az eredeti modulusok szorzata és az eredmény argumentuma az eredeti argumentumok összege.
Projektív egyenes
A duális számok fölötti projektív egyenessel Grünwald[4] és Corrado Segre.[5] foglalkozott behatóbban.
Ahogy a Riemann-gömbhöz szükség van egy plusz pontra, hogy bezárja a gömböt az Északi-sarkon, úgy a duális számokhoz egy egyenes kell, hogy a duális számok síkjából hengert csináljon.[6]
Tegyük fel, hogy D az x + y ε alakú duális számok gyűrűje! Legyen ennek U az a részhalmaza, hogy x ≠ 0, ez az egységek csoportja D-ben. Legyen B = {(a,b) ∈ D x D : a ∈ U vagy b ∈ U}. Definiáljuk a ~ relációt a következőképpen: Legyen (a,b) ~ (c,d), ha van u ∈ U, hogy ua=c és ub=d. Ez egy ekvivalenciareláció, és osztályai éppen a duális számok fölötti projektív egyenes pontjai: P(D) = B/ ~.
Tekintsük most a D → P(D) beágyazást, ahol 'z → U(z,1), és U(z,1) a (z,1) ekvivalenciaosztálya! Ekkor az U(1,n), n2 = 0 pontok P(D)-beliek, de nem képei a beágyazásnak. Most P(D)-t arra a hengerre vetítjük, ami a {y ε: y ∈ ℝ}, ε2 = 0 egyenesben érinti a síkot. Az átellenes egyenest egy síksor tengelyeként kezeljük. Amely síkok metszik a duális számok síkját és a hengert, azok megfeleltetést adnak a két metszésvonal pontjai között. A duális számok síkjával párhuzamos sík a duális számok síkjának U(1,n), n2 = 0 pontjainak felel meg a duális számok fölötti projektív egyenesen.
Általánosítás
A duális számok megfelelői bármely kommutatív gyűrű fölött definiálhatók, mint az R[X] polinomgyűrű és az (X2) ideál hányadosa. Ekkor az X ez ε szerepét tölti be. Ezek a gyűrűk fontos szerepet töltenek be a deriválás algebrai elméletében és a tisztán algebrai differenciálformák, a Kähler-differenciálok elméletében.
Gyűrű fölött az a + bε duális elem egység, azaz invertálható akkor és csak akkor, ha a is egység az eredeti gyűrűben. Ekkor a + bε inverze a−1 − ba−2ε. Emiatt test vagy kommutatív lokális gyűrű fölött a duális elemek lokális gyűrűt alkotnak; maximális ideálja az ε által generált főideál.
Egy másik, szűkebb lehetőség az általánosításra n, egymással antikommutáló generátor bevezetése. Ezek a Grassmann-számok.
Alkalmazások
A fizikában a duális számok jelentik a legegyszerűbb szuperteret. Ekvivalensen, egygenerátoros szuperszámok, ahol is szuperszámokon a Grassmann-számokat értik, de ahol n végtelen is lehet. A szuperterek ezt általánosítják tovább, megengedve felcserélhető generátorokat is.
A duális számok bevezetése a fizikába a Pauli-féle kizárási elven múlik, mivel a fermionok összes kvantumszáma nem egyezhet meg, nem lehetnek ugyanabban az állapotban egy atomban vagy molekulában. Az ε szerinti irány a fermion, az 1 iránya a bozon irány. Ha a koordinátákat felcseréljük, akkor a kvantummechanikai hullámfüggvény előjelet vált, emiatt ha a két koordináta egyenlő, akkor nulla. A kizárási elv abban is kifejeződik, hogy ε2 = 0.
Jegyzetek
- ↑ Isaak Yaglom: A simple non-euclidean geometry and its physical basis (1979) pp. 92,3
- ↑ V.V. Kisil (2007) "Inventing a Wheel, the Parabolic One" arXiv:0707.4024
- ↑ Például
- ↑ Josef Grünwald (1906) "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Monatshefte für Mathematik 17: 81–136
- ↑ Corrado Segre (1912) "Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali", Paper XL of Opere, also Atti della R. Academia della Scienze di Torino, vol XLVII.
- ↑ I. M. Yaglom (1979) A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis, pp 149–53, Springer, ISBN 0387-90332-1, MR520230
Források
- Bencivenga, Ulderico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR0021123.
- William Kingdon Clifford (1873) Preliminary Sketch of Bi-quaternions, Proceedings of the London Mathematical Society 4:381–95
- Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118–29.
- William Miller & Rochelle Boehning (1968) "Gaussian, Parabolic and Hyperbolic Numbers", The Mathematics Teacher 61(4): 377–82.
- Eduard Study (1903) Geometrie der Dynamen, page 196, from Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
- Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, pp 12–18, Academic Press.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Dual number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap