Chevalley-tétel

A Chevalley-tétel egy számelméleti tétel, amit 1936-ban Claude Chevalley bizonyított be, így az ő nevét viseli.

Legyen p prímszám, n pozitív egész, továbbá legyenek ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{k}}$ olyan n-változós polinomok, melyek fokszámaiknak összege n-nél kisebb. Tekintsük a következő kongruenciarendszert: ${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p}}\qquad i=1,2,\dots ,k}$.

• a Chevalley-tétel szerint ha ${\displaystyle x_{1}\equiv x_{2}\equiv \dots \equiv x_{n}\equiv 0{\pmod {p}}}$ kielégíti a kongruenciarendszert (ún. triviális megoldás), akkor a kongruenciarendszernek van ettől eltérő (ún. nemtriviális) megoldása is.
• a Chevalley-Warning-tétel szerint a kongruenciarendszert teljesítő ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}$ szám-n-esek száma osztható p-vel.

Világos, hogy a Chevalley-tétel a Chevalley-Warning-tétel azonnali következménye, de egyszerűbb hivatkozás céljából mégis megkülönböztetjük a kettőt.

A bizonyításhoz felhasználjuk, hogy ${\displaystyle \sum _{x=0}^{p-1}x^{\ell }\equiv 0{\pmod {p}}}$ teljesül minden ${\displaystyle 0\leq \ell \leq p-2}$ esetén. (Ez könnyen belátható indukcióval, a ${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{\frac {m(m-1)\dots (m-\ell +1)}{\ell !}}={\binom {p}{\ell +1}}}$ azonosság felhasználásával, lásd itt.)

Megmutatjuk, hogy ebből az állításból következik, hogy ha ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{n})}$ egy olyan n-változós polinom, melynek foka kisebb, mint ${\displaystyle n(p-1)}$, akkor

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}g(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Ennek a bizonyításához írjuk fel ${\displaystyle g}$ polinomot ${\displaystyle a_{\ell _{1},\ell _{2},\dots ,\ell _{n}}x^{\ell _{1}}x^{\ell _{2}}\dots x^{\ell _{n}}}$ alakú monomok összegeként, ahol a ${\displaystyle g}$ fokszámára tett megszorítás szerint ${\displaystyle \ell _{1}+\dots +\ell _{n}<n(p-1)}$. Először rögzítsünk néhány ilyen ${\displaystyle \ell _{1},\dots ,\ell _{n}}$ kitevőt: mivel nem lehet mindegyik kitevő ${\displaystyle \geq p-1}$, így van olyan ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, hogy ${\displaystyle \ell _{i}<p-1}$. Most pedig a szummát átcsoportosítva, a segédállításunk szerint adódik, hogy

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}a_{\ell _{1},\ell _{2},\dots ,\ell _{n}}x^{\ell _{1}}x^{\ell _{2}}\dots x^{\ell _{n}}=}$

${\displaystyle =\sum _{(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n-1}}a_{\ell _{1},\ell _{2},\dots ,\ell _{n}}x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{i-1}^{\ell _{i-1}}x_{i+1}^{\ell _{i+1}}\dots x_{n}^{\ell _{n}}\left(\sum _{x_{i}=0}^{p-1}x_{i}^{\ell _{i}}\right)\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Ebből pedig azonnal kapjuk, hogy

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}g(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}\sum _{\ell _{1}+\dots +\ell _{n}<n(p-1)}a_{\ell _{1},\ell _{2},\dots ,\ell _{n}}x^{\ell _{1}}x^{\ell _{2}}\dots x^{\ell _{n}}=}$

${\displaystyle =\sum _{\ell _{1}+\dots +\ell _{n}<n(p-1)}\left(\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}a_{\ell _{1},\ell _{2},\dots ,\ell _{n}}x^{\ell _{1}}x^{\ell _{2}}\dots x^{\ell _{n}}\right)\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Miután beláttuk állításunkat, alkalmazzuk ezt a

${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{k}(1-f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})^{p-1})}$

polinomra: ezt megtehetjük, hisz mivel az ${\displaystyle f_{i}}$ polinomok fokszámösszege kisebb n-nél, azért a ${\displaystyle g}$ polinom fokszáma ${\displaystyle n(p-1)}$-nél kisebb lesz. Tehát fennáll, hogy

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \{0,1,\dots ,p-1\}^{n}}\prod _{i=1}^{k}(1-f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})^{p-1}))\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Viszont előbbi összeg (modulo p értve) éppen a kongruenciarendszer megoldásainak számát adja meg! Ugyanis a Kis-Fermat-tétel szerint ${\displaystyle 1-f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})^{p-1}}$ értéke 1 vagy 0 lehet modulo p, aszerint, hogy ${\displaystyle f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ osztható-e p-vel vagy sem, így a ${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1-f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})^{p-1}))}$ szorzat pontosan akkor 1, ha minden i-re ${\displaystyle f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p}}}$, és egyébként zérus.

Ezzel bebizonyítottuk a Chevalley-Warning-tételt, amiből következik a Chevalley-tétel is.

• Ha p prím, ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$, akkor az ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\pmod {p}}}$ kongruenciának van nemtriviális megoldása.
• Erdős–Ginzburg–Ziv-tétel: 2m-1 db egész szám között biztosan van m darab, melyek összege osztható m-mel (m>0 egész).