A Chevalley-tétel egy számelméleti tétel, amit 1936-ban Claude Chevalley bizonyított be, így az ő nevét viseli.
Különféle változatai
Legyen p prímszám, n pozitív egész, továbbá legyenek
olyan n-változós polinomok, melyek fokszámaiknak összege n-nél kisebb. Tekintsük a következő kongruenciarendszert:
.
- a Chevalley-tétel szerint ha
kielégíti a kongruenciarendszert (ún. triviális megoldás), akkor a kongruenciarendszernek van ettől eltérő (ún. nemtriviális) megoldása is. - a Chevalley-Warning-tétel szerint a kongruenciarendszert teljesítő
szám-n-esek száma osztható p-vel.
Világos, hogy a Chevalley-tétel a Chevalley-Warning-tétel azonnali következménye, de egyszerűbb hivatkozás céljából mégis megkülönböztetjük a kettőt.
Bizonyítása
A bizonyításhoz felhasználjuk, hogy
teljesül minden
esetén. (Ez könnyen belátható indukcióval, a
azonosság felhasználásával, lásd itt.)
Megmutatjuk, hogy ebből az állításból következik, hogy ha
egy olyan n-változós polinom, melynek foka kisebb, mint
, akkor
.
Ennek a bizonyításához írjuk fel
polinomot
alakú monomok összegeként, ahol a
fokszámára tett megszorítás szerint
. Először rögzítsünk néhány ilyen
kitevőt: mivel nem lehet mindegyik kitevő
, így van olyan
, hogy
. Most pedig a szummát átcsoportosítva, a segédállításunk szerint adódik, hogy
.
Ebből pedig azonnal kapjuk, hogy
Miután beláttuk állításunkat, alkalmazzuk ezt a
polinomra: ezt megtehetjük, hisz mivel az
polinomok fokszámösszege kisebb n-nél, azért a
polinom fokszáma
-nél kisebb lesz. Tehát fennáll, hogy
.
Viszont előbbi összeg (modulo p értve) éppen a kongruenciarendszer megoldásainak számát adja meg! Ugyanis a Kis-Fermat-tétel szerint
értéke 1 vagy 0 lehet modulo p, aszerint, hogy
osztható-e p-vel vagy sem, így a
szorzat pontosan akkor 1, ha minden i-re
, és egyébként zérus.
Ezzel bebizonyítottuk a Chevalley-Warning-tételt, amiből következik a Chevalley-tétel is.
Két fontos alkalmazás
- Ha p prím,
, akkor az
kongruenciának van nemtriviális megoldása. - Erdős–Ginzburg–Ziv-tétel: 2m-1 db egész szám között biztosan van m darab, melyek összege osztható m-mel (m>0 egész).
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap