Boole-algebra (struktúra)
A matematikában, közelebbről az algebrában a Boole-algebra (vagy Boole-háló) az a kétműveletes algebrai struktúra (egy halmaz, az elemei között értelmezett két művelettel ellátva), amely a halmazműveletek, a logikai műveletek és az eseményalgebra műveleteinek közös tulajdonságaival rendelkezik. Matematikai szemszögből a Boole-algebra olyan legalább kételemű egységelemes, zéruselemes háló, mely disztributív és komplementumos. Ez utóbbi tulajdonság azt jelenti, hogy az halmaz minden a elemére teljesül, hogy létezik olyan elem, hogy:
ahol 1 az egységelem, 0 a zéruselem, -t pedig az komplementerének nevezzük.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg/250px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg.png)
George Boole angol matematikus mutatott rá először arra, hogy az alábbi három terület közötti szoros algebrai jellegű kapcsolat áll fenn:
- egy tetszőleges H halmaz hatványhalmaza, a H részhalmazai közötti unió és metszet tulajdonsággal; az A részhalmaz komplementere a H azon elemei, melyek nincsenek benne A-ban
- az „igazságértékek” halmaza, a logikai összeadás és a szorzás műveletével (mely rendre a „vagy” és az „és” szerepét tölti be); az elem komplementere , az elem negációja
- a valószínűség-elmélet egy eseménytere, az események közötti összeg és szorzat műveletével; az komplementer az az esemény, hogy az esemény nem következik be.
Mivel az igaz értéket bináris számokkal vagy logikai áramkörök feszültségszintjeivel is azonosíthatjuk, a párhuzam ezekre is fennáll. Így a Boole-algebra elmélete rengeteg gyakorlati alkalmazással bír a villamosmérnöki szakma és a számítógép-tudomány területén, valamint a matematikai logikában. Erről lásd még: Boole-algebra (informatika).
Minden Boole-algebra megfeleltethető egy relációs struktúrának az megfeleltetéssel. Ez a hálóelméleti definíció nyújt lehetőséget a Boole-algebra általánosítására. Ez a Heyting-algebra, mely nem tartalmazza azt a megkötést, hogy egy kijelentésnek mindenképpen igaznak vagy hamisnak kell lennie (lásd a fenti komplementer azonosságot). Míg a Boole-algebra a klasszikus propozicionális logika algebrai interpretációjának tekinthető, addig a Heyting-algebra az intuicionista logika algebrai interpretációját adja.
Története
A „Boole-algebrát” George Boole (1815–1864) tiszteletére nevezték el, aki autodidakta angol matematikus volt. A logika algebrai rendszerét 1854-es monográfiájában, A gondolkodás törvényeiben (The Laws of Thought) fogalmazta meg. Ez különbözött a fent leírttól pár fontos pontban. Például a konjunkció és a diszjunkció számára nem egy duális operátorpár volt. A Boole-algebra 1860-ban jött létre William Jevons és Charles Peirce cikkeiben. Ernst Schröder 1890-es Vorlesungenjének idejére már rendelkeztünk a Boole-algebra és a disztributív hálók első rendszerezett bemutatásával. Angol nyelvterületen a Boole-algebra első kiterjedt tárgyalása Alfred North Whitehead 1898-ban írt Univerzális algebra (Universal Algebra) című műve volt. A Boole-algebrának az első axiomatikus algebrai struktúraként történő tárgyalása Edward Vermilye Huntington 1904-es dolgozatával kezdődött meg. Komoly matematikává Marshall Stone 1930-as években végzett munkájával és Garrett Birkhoff 1940-es Hálóelmélet (Lattice Theory) című művével vált. Az 1960-as években Paul Cohen, Dana Scott és mások mélyenszántó új eredményeket találtak a matematikai logika és az axiomatikus halmazelmélet területén a Boole-algebra ágainak használatával, név szerint a forszolással és a Boole-értékű modellekkel.
Axiomatizálása
1933-ban Edward Vermilye Huntington amerikai matematikus (1874–1952) egy elegáns axiómarendszert dolgozott ki a Boole-algebrák számára. Ehhez két alapműveletre volt szüksége, a két változós és az egy változós műveletre, ami a komplementert adja vissza. A Boole-algebra eleget tesz a következő követelményeknek.
- kommutativitás: .
- asszociativitás: .
- Huntington-egyenlőség: .
Herbert Robbins az utolsó egyenlőséget a duálisával helyettesítette:
- 4. Robbins-egyenlet:
Évtizedekig nyitott kérdés volt, hogy az 1., 2., és a 4. axióma együtt szintén Boole-algebrát ad-e. A sejtést csak 1996-ban sikerült bebizonyítani.
A Robbins-sejtés évtizedeken át nyitott maradt, és Alfred Tarski és köre kedvenc témájává vált. 1996-ban William McCune igazolta Larry Wos, Steve Winker, és Bob Veroff eredményeinek felhasználásával. Dahn egyszerűsítette a bizonyítást.
Részletes definíció
A Boole-algebra tehát egy halmaz, melynek van legalább két eleme, az 1 és a 0, ellátva a kétváltozós (szóban: „vagy”) és (szóban „és”) művelettel, továbbá a (szóban: „felülvonás”, „tagadás”), avagy más jelöléssel: (szóban: „komplemens”, „ellentett”) egyváltozós művelettel, melyet komplementerképzésnek nevezünk és melyekre a következő művelet azonosságok teljesülnek:
asszociatív kommutatív elnyelési tulajdonság disztributív komplementerképzés
Mindezekből következnek további tulajdonságok is:
idempotencia korlátosság 0 és 1 egymás komplementerei de Morgan-azonosságok
Példák
Kételemű Boole-algebra
A legegyszerűbb Boole-algebra csak az 1 és a 0 elemeket tartalmazza. Ez megfelel az igazságértékekkel végzett műveletek algebrájának. A műveleti táblák ekkor a műveletek explicit definícióját adják:
|
|
|
Halmazműveletek
Ha megadunk egy H halmazt (vagy egy C osztályt – ahogy eredetileg Boole), akkor ennek részhalmazai Boole-algebrát alkotnak a következő műveletkiosztással:
- (unió)
- (metszet)
- komplemeter: az alaphalmazból való halmazkivonás művelete
Ebben az interpretációban 1 megfelel az alaphalmaznak, 0 az üres halmaznak.
Szintén Boole-algebra a H alaphalmaz véges és ko-véges részhalmazainak rendszere.
Egyéb példák
- Legyen H egy teljesen rendezett halmaz, és vegyük a legszűkebb, az félig nyílt intervallumokat tartalmazó algebrát (, vagy ). Az így kapott Boole-algebrák az intervallumalgebrák; minden megszámlálható Boole-algebra izomorf egy intervallumalgebrával.
- Egy n természetes számra n pozitív osztói disztributív hálót adnak, ha a rendezés az oszthatóság, a metszet a legnagyobb közös osztó, az egyesítés a legkisebb közös többszörös képzése. Ebben a hálóban a legkisebb elem az 1, a legnagyobb elem n. Ez a háló akkor és csak akkor Boole-algebra, ha n négyzetmentes.
- Legyen X topologikus tér. Ekkor X összes olyan részhalmaza, ami nyílt és zárt is, Boole-algebrát alkot. A műveletek: egyesítés, és metszet.
- Legyen R gyűrű, és vegyük a centrális idempotens elemeket:
Ekkor A Boole-algebra lesz a és az műveletekkel.
Boole-halmazalgebra
Amennyiben A halmaz, B az A bizonyos részhalmazainak halmaza, akkor abban az esetben mondjuk, hogy az struktúra Boole-halmazalgebra, ha B zárt a halmazműveletekre, az üres halmaz (0) és A eleme B-nek.
Stone tétele szerint minden (absztrakt) Boole-algebra izomorf egy Boole-halmazalgebrával.
Ez azt is jelenti, hogy a Boole-halmazalgebrák osztályát végesen axiomatizálják a Boole-algebrák osztályát definiáló egyenletek.
Logikai áramkörök
A logikai műveleteket elektromos kapcsolásokként (kapuáramkörökként) is értelmezhetjük. A logikai függvényeket így kapuáramkörök kombinálásával is felírhatjuk. Az ÉS, VAGY és NEGÁLT műveletek soros és párhuzamos kapcsolásnak, valamint invertereknek felelnek meg.
Homomorfizmusok és izomorfizmusok
Ha A és B két Boole-algebra, akkor az függvény homomorfizmus és között, ha -ra:
Következik, hogy minden -ra. A Boole-algebrák osztálya ezekkel a morfizmusokkal teljes alkategóriát alkotnak a hálók kategóriájában.
Boole gyűrűk, ideálok és szűrők
Ha Boole-algebra, akkor ad egy gyűrűt a metszésre, mint szorzásra, és a szimmetrikus differenciára, mint összeadásra nézve. Ahol is a szimmetrikus differencia:
- .
ugyanezt a műveletet a logika nyelvén kizáró vagynak nevezik.
Ebben a gyűrűben a Boole-algebra 0 eleme neutrális elem, és a Boole-algebra 1 eleme a gyűrű egységeleme. Ebben a gyűrűben minden elemre ; az ilyen tulajdonságú gyűrűk a Boole-gyűrűk.
Megfordítva, ha adva van az Boole-gyűrű, akkor Boole-algebrához jutunk a és a műveletekkel. Ez a két átalakítás egymás inverze, ezért akkor és csak akkor homomorfizmusa a Boole-algebrán, ha a Boole-gyűrűn is homomorfizmus. A Boole-gyűrűk és a Boole-algebrák kategóriái ekvivalensek.
Egy A Boole-algebrának ideálja az halmaz, ha minden -re szintén -ben van, és minden -ra is -ben van. Ez megfelel az A Boole-gyűrű ideáljainak. Egy ideál prímideál, ha és ha , akkor a vagy b I-beli. Egy ideál maximális, ha nincs nála nagyobb ideál, ami tartalmazza. Az algebrában és a gyűrűben ugyanazok a részhalmazok prímideálok, vagy maximális ideálok.
Az ideálok duálisai a szűrők. Egy -val jelölt Boole-algebrában szűrő, ha minden -re is -beli, és minden -ra szintén -beli.
Reprezentációi
Megmutatható, hogy minden véges Boole-algebra izomorf egy teljes halmazalgebrával. Ezért egy Boole-algebra elemszáma vagy kettőhatvány, vagy végtelen.
M. H. Stone híres tétele azt állítja, hogy minden Boole-algebra izomorf egy Hausdorff-tér összes nyílt-zárt halmazának Boole-algebrájával.
Általánosításai
Az egységelem követelményének elejtése az általános Boole-algebrákhoz vezet. Képletekkel:
A disztributív háló általános Boole-háló, ha van egy 0 legkisebb eleme, és -re van egy elem, hogy és . Ha most az az , amire és , a struktúrát általános Boole-hálónak nevezzük, míg általános Boole-félháló. Az általános Boole-hálók éppen a Boole-hálók ideáljai.
A disztributivitás követelményének elejtésével az ortokomplementumos hálókhoz jutunk. Az ilyen hálók természetes módon adódnak a kvantumlogikában, mint szeparábilis Hilbert-terek zárt részhalmazainak hálói.
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Boolean algebra (structure) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Források
- Brown, Stephen & Vranesic, Zvonko (2002), Fundamentals of Digital Logic with VHDL Design (2nd ed.), McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-249938-4. See Section 2.5.
- Cori, Rene & Lascar, Daniel (2000), Mathematical Logic: A Course with Exercises, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850048-3. See Chapter 2.
- Dahn, B. I. (1998), "Robbins Algebras are Boolean: A Revision of McCune's Computer-Generated Solution of the Robbins Problem", Journal of Algebra 208: 526–532, DOI 10.1006/jabr.1998.7467.
- Givant, Steven & Halmos, Paul (2009), Introduction to Boolean Algebras, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-40293-2.
- Halmos, Paul (1963), Lectures on Boolean Algebras, Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90094-0.
- Halmos, Paul & Givant, Steven (1998), Logic as Algebra, vol. 21, Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-327-6.
- Huntington, E. V. (1933), "New sets of independent postulates for the algebra of logic", Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 35 (1): 274–304, doi:10.2307/1989325, <http://jstor.org/stable/1989325>.
- Huntington, E. V. (1933), "Boolean algebra: A correction", Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 35 (2): 557–558, doi:10.2307/1989783, <http://jstor.org/stable/1989783>.
- Mendelson, Elliott (1970), Boolean Algebra and Switching Circuits, Schaum's Outline Series in Mathematics, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-041460-0.
- Monk, J. Donald & Bonnet, R., eds. (1989), Handbook of Boolean Algebras, North-Holland, ISBN 978-0-444-87291-3. In 3 volumes. (Vol.1:ISBN 978-0-444-70261-6, Vol.2:ISBN 978-0-444-87152-7, Vol.3:ISBN 978-0-444-87153-4)
- Stoll, R. R. (1963), Set Theory and Logic, W. H. Freeman, ISBN 978-0-486-63829-4. Reprinted by Dover Publications, 1979.
Kapcsolódó szócikkek
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap