Bipoláris koordináta-rendszer
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Iso1.svg/350px-Iso1.svg.png)
A bipoláris koordináta-rendszer egy kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami az Apollóniusz-körökön alapul.[1] Megtévesztő lehet, hogy különböző szerzők más koordináta-rendszereket is bipolárisnak neveznek, mint a kétközepű bipoláris koordinátákat (ahol a két középpontól mért távolságok adják a koordinátákat), és a hasonló elven alapuló kétszögű koordinátákat.
A bipoláris szót használják olyan görbék leírására, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.
Definíció
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Bipolar_coordinates.png)
A rendszert két fókuszpont, F1 és F2 határozza meg. Egy P pont σ koordinátája megegyezik az F1 P F2 szöggel, míg a τ koordináta a fókuszoktól mért távolságok, d1 és d2 arányának természetes logaritmusa:
Ha felveszünk egy Descartes-féle koordinátarendszert úgy, hogy a két fókusz koordinátái (−a, 0) és (a, 0) legyenek, akkor a P pont koordinátái:
τ értéke bármely valós szám lehet, míg a σ koordináta csak 2π periódus erejéig meghatározott, és többnyire -π és π között definiálják. Negatív értéket akkor vesz fel, ha a P pont az alsó félsíkon, tehát az F1F2 egyenes alatt van.
Koordinátavonalak
A konstans σ-nak megfelelő görbék nem koncentrikus körök:
amelyek a fókuszokban metszik egymást. A konstans σ-jú körök középpontjai az y-tengelyre esnek. A pozitív σ-jú körök középpontja az x-tengely fölött található, míg a negatív σ-hoz tartozó körök középpontjai az x-tengely alá esnek. A |σ|- π/2 mennyiség csökkenésével a körök zsugorodnak, középpontjuk pedig a (0, 0) origóhoz közelít; melyet akkor ér el, ha |σ| = π/2. A Thalész-tétel szerint, ha egy háromszög két csúcsa átellenes egy körön, és a harmadik csúcsa is a körön helyezkedik el, akkor a háromszög derékszög.
A konstans τ-jú görbék különböző sugarú, egymást nem metsző körök:
melyek körülveszik a fókuszokat, de szintén nem koncentrikusak. A konstans τ-jú körök középpontjai az x-tengelyen fekszenek. A pozitív τ-hoz tartozó körök a jobb félsíkban (x > 0), míg a negatív τ-jú körök a bal félsíkon (x < 0) találhatók. A τ = 0 egyenes az y-tengely (x = 0). Ahogy τ nő, úgy a körök egyre kisebbek, és középpontjaik megközelítik a fókuszokat.
Kapcsolat a Descartes-koordinátákkal
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Bipolar_sigma_isosurfaces.png/280px-Bipolar_sigma_isosurfaces.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Bipolar_tau_isosurfaces.png/280px-Bipolar_tau_isosurfaces.png)
Descartes-koordinátákról így lehet bipoláris koordinátákra áttérni:
és
A koordinátákra vonatkozó további azonosságok:
és
ami megkapható az x = 0 határértékként a fenti definícióból.
Skálázási tényezők
A skálázási tényezők kiszámításához vesszük egyenletének differenciálját:
Ezt az egyenletet komplex konjugáltjával szorozva
A szinuszokra és koszinuszok szorzatára vonatkozó azonosságok alkalmazásával
ebből
Eszerint σ és τ skálázási tényezői megegyeznek, és:
További eredmények kaphatók az ortogonális koordináta-rendszerek általános egyenletéből behelyettesítéssel. Az infinitezimális területelem:
és a Laplace-operátor:
A további differenciáloperátorok, mint és kifejezhetők a koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.
Az ortogonalitás bizonyítása
Az x és y koordináták egyenleteit kombinálva:
- [2][3]
Eszerint a σ és τ koordináták az x+iy analitikus függvény valós és képzetes része. A konform leképezések általános szerint és a Cauchy-Riemann-egyenletekből adódóan a σ és a τ koordinátagörbéi derékszögben metszik egymást.
Alkalmazások
A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.
A poláris nyomtatók bipoláris koordináta-rendszert használnak képek rajzolásához szükséges útvonalak kiszámításához.
Kiterjesztések három dimenzióra
A bipoláris koordináták többféleképpen is kiterjeszthetők három dimenzióra az ortogonális tulajdonság megőrzésével:
- bipoláris hengerkoordináta-rendszer, ahol a harmadik koordináta a z-tengely irányú eltolást jelöli
- biszférikus koordináta-rendszer, ami az x-tengely, tehát a fókuszokat összekötő tengely körüli forgatással keletkezik
- toroid koordináta-rendszer, ami az y-tengely, tehát a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatással keletkezik
Jegyzetek
- ↑ Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM, Bipolar Coordinates, CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999 Bipolar Coordinates. [2007. december 12-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. december 9.)
- ↑ Polyanin, Andrei Dmitrievich. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. CRC Press, 476. o. (2002). ISBN 1-58488-299-9
- ↑ Low Reynolds number hydrodynamics: with special applications to particulate media, Mechanics of fluids and transport processes. Springer, 497. o. (1983). ISBN 978-90-247-2877-0
Források
- "Bipolar coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Bipolar coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.