Arany spirál
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/FakeRealLogSpiral.svg/300px-FakeRealLogSpiral.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Fibonacci_spiral_34.svg/300px-Fibonacci_spiral_34.svg.png)
A geometriában az arany spirál egy logaritmikus spirál, aminek a tágulási faktora, a b a φ-hez, az aranymetszéshez kötődik.[1] Egyedi módon, egy arany spirál a φ faktorával szélesedik, vagy kerül távolabb kezdőpontjától minden negyedkör után, amit megtesz.
Képlet
Egy arany spirál poláris egyenlete ugyanaz, mint más logaritmikus spiráloké, de egy b különleges értékkel:[2]
vagy
ahol az a természetes logaritmusok alapja, az egy tetszőleges pozitív valódi állandó, és a pedig (amikor a egy derékszög (mindkét irányban egy negyed fordulat)):
Így, a
A számértéke függ attól, hogy a derékszöget 90 foknak, vagy radiánnak vesszük; és mivel a szög mindkét irányban lehet, könnyebb a abszolútértékével leírni a képletet ( lehet ennek az értéknek az ellentettje is):
- foknál;
- radiánnál
Egy logaritmikus és egy arany spirál másik képlete:[3]
ahol a állandó
ami az arany spirálnál a ilyen értékeit adja meg:
ha a fokokban mérendő, és
ha radiánokban mérendő.
Az arany spirál közelítései
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/LT-2007-10lit%C5%B3-Au%C5%A1ros_vartai-b.png)
Sok hasonló spirál van, ami megközelíti, de nem éri el az arany spirált.[4] Ezeket sokszor tévesztik össze az arany spirállal.
Egy arany spirált meg lehet közelíteni egy „örvénylő téglalap-diagrammal”, ahol a négyzetek ellenkező sarkai, amiket kígyózó arany téglalapok alkotnak, negyedkörökkel vannak összekötve. A végeredmény nagyon hasonló egy valódi arany spirálhoz (lásd a jobb felső sarokban lévő képet).
Egy másik közelítés a Fibonacci-spirál, ami nem valódi logaritmikus spirál. Minden negyedfordulat után a Fibonacci-spirál nem φ-vel lesz szélesebb, hanem egy változó tényezővel, ami a Fibonacci-számok egymást követő tagjaival van összefüggésben. Az egymást követő tagok a Fibonacci-sorozatban megközelítik a φ-t, tehát a két spirál nagyon hasonló lesz. (lásd a jobb alsó sarokban lévő képet).
Spirálok a természetben
A természetben megközelítő logaritmikus spirálok előfordulhatnak (például a spirális galaxisok elágazásai). Néha azt mondják, hogy a nautilus kagylói az arany spirál mintájára tágulnak, és így nem csak a φ-hez kötődnek, de a Fibonacci-sorozathoz is. Az igazság az, hogy a nautilus-kagylók, és sok más puhatestű kagylói egy logaritmikus spirál tágulási mintáját követik, de egy megkülönböztethetően más szögben, mint ami az arany spirálnál van.[5] Ez a minta engedi meg az élőlénynek, hogy alakváltozás nélkül növekedjen. Sok spirál fordul elő a természetben; az arany spirál csak egy speciális fajta.
Kapcsolódó szócikkek
- Aranymetszés
- Arany téglalap
- Arany szög
- Logaritmikus spirál
Jegyzetek
- ↑ "Golden Spiral Archiválva 2019. július 28-i dátummal a Wayback Machine-ben" by Yu-Sung Chang, A wolfram-szemléltetés Projekt.
- ↑ Priya Hemenway. Isteni Metszés: Φ A phi a művészetben, természetben és a tudományban. Sterling Publishing Co, 127–129. o. (2005). ISBN 1402735227
- ↑ Klaus Mainzer. A természet szimmetriái: A természet és a tudomány filozófiájának kézikönyve. Walter de Gruyter, 45, 199–200. o. (1996). ISBN 3110129906
- ↑ Charles B. Madden. Fraktálok a zenében: a zenei analízis bevezető matematikája. High Art Press, 14–16. o. (1999). ISBN 0967172764
- ↑ Oberon Zell-Ravenheart. Az újonc varázsló kézikönyve. Career Press, 274. o. (2004). ISBN 1564147118 [halott link]
További információk
- Falus Róbert: Az aranymetszés legendája; 2. jav. kiad.; Magyar Könyvklub, Budapest, 2001 (Tudományos kaleidoszkóp)
- Kovács Ádám–Vámos Attila: Aranyháromszög. Aranymetszés, Fibonacci-sorozat, szabályos ötszög; Műszaki, Budapest, 2007