Affin koordináták

Affin koordináták véges dimenziós euklideszi térben

Az affin koordináta fogalma az affin geometria tárgykörébe tartozik, de értelmezhető euklideszi terekben is. A hagyományos E {\displaystyle \mathbb {E} } euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy O pontot, az origót, és tetszőleges P ∈ E {\displaystyle P\in E} pontot azonosítjuk a p _ = O P → {\displaystyle {\underline {p}}={\vec {O\!P}}} helyvektorral.

Definíció: Legyenek adottak a ( B i ) i ∈ ( 1 , 2 , ⋯ , n ) = ( B 1 , B 2 , ⋯ , B n ) ∈ E n {\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in (1,2,\cdots ,n)}=\left(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n}\right)\in E^{n}} pontok – a B elnevezés arra utal, hogy ezek a bázispontok. Ha vannak olyan ( α i ) i ∈ ( 1 , 2 , ⋯ , n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) ∈ R n {\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i\in (1,2,\cdots ,n)}=\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}} valós számok – skalárok vagy együtthatók – melyekre teljesül valamely P ∈ E {\displaystyle P\in E} pont esetén, hogy P a bázispontok fenti együtthatókkal vett affin kombinációja legyen, azaz

O P → = ∑ i = 1 n α i O B i → = α 1 O B 1 → + α 2 O B 2 → + ⋯ + α n O B n → {\displaystyle {\vec {O\!P}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {O\!B_{i}}}}=\alpha _{1}{\vec {O\!B_{1}}}+\alpha _{2}{\vec {O\!B_{2}}}+\cdots +\alpha _{n}{\vec {O\!B_{n}}}} ,



rövidebben írva (ha az O pont rögzítve van, egyértelmű, nem változik)

p _ = ∑ i = 1 n α i b i _ = α 1 b 1 _ + α 2 b 2 _ + ⋯ + α n b n _ {\displaystyle {\underline {p}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\underline {b_{i}}}}=\alpha _{1}{\underline {b_{1}}}+\alpha _{2}{\underline {b_{2}}}+\cdots +\alpha _{n}{\underline {b_{n}}}} ,


akkor az ( α i ) i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}}=\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}\right)} együtthatókat (ti. ezek fenti rendezett n-esét) a P pontok affin koordinátáinak nevezzük a ( B 1 , B 2 , ⋯ , B n ) {\displaystyle \left(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n}\right)} bázispontokra nézve.


Megjegyzés I. : Az előbbi definícióban a B_{i} pontok köré írt zárójel nem hagyható el és nem cserélhető kapcsos zárójelre, mivel a bázispontok itt nem halmazt, hanem rendezett n-est kell hogy alkossanak, az affin koordináták ebben az értelemben függnek a bázispontok sorrendjétől;
Megjegyzés II. : Nem nehéz belátni, hogy tetszőleges véges dimenziós euklideszi térben viszont az affin koordináták függetlenek a kezdőpont megválasztásától;
Megjegyzés III. : Az affin kombináció szócikkben részletesen is foglalkoztunk azzal, hogy n dimenziós euklideszi térben pontosan n+1 független bázispont kell ahhoz, hogy minden pont előállítható legyen ezek egy affin kombinációjaként, azaz ennyi független bázispont teljesen „bekoordinátázza” a teret, mégpedig úgy, hogy a kérdéses koordináták egyértelműek.

Lásd még